Chứng minh rằng: a) \(A = {4^{2004}} + {4^{2003}} + ... + {4^2} + 4+1\) chia hết cho \(341\); b) \(B = {5^{100}}

Câu hỏi số 578872:

Vận dụng

Chứng minh rằng:

a) \(A = {4^{2004}} + {4^{2003}} + ... + {4^2} + 4+1\) chia hết cho \(341\);

b) \(B = {5^{100}} + {5^{101}} + {5^{102}} + ... + {5^{300}}\)chia hết cho \(31\);

c) c) \(C = {11^{1001}} + {11^{1002}} + {11^{1003}} + ... + {11^{2020}}\) chia hết cho \(133\);

d) \(D = 7 + {7^2} + {7^3} + ... + {7^{4n}}\) chia hết cho \(400\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:578872

Phương pháp giải

+ Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số : \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\)

+ Để chứng minh \(S\) chia hết cho số \(q\), ta viết dãy \(S\) dưới dạng tích của \(q\) và một số nào đó bằng cách đặt thừa số chung

Giải chi tiết

a) \(A = {4^{2004}} + {4^{2003}} + ... + {4^2} + 4+1\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{4^{2004}} + {4^{2003}} + {4^{2002}} + {4^{2001}} + {4^{2000}}} \right) + ... + \left( { {4^4} + {4^3} + {4^2} + 4+1} \right)\\ = {4^{2000}}\left( {{4^4} + {4^3} + {4^2} + 4 + 1} \right) + ... + \left( {{4^4} + {4^3} + {4^2} + 4 + 1} \right)\\ = {4^{2000}}.341 + ... + 341\\ = 341\left( {{4^{2000}} + ... + 1} \right) \vdots 341\end{array}\)

Vậy \(A\) chia hết cho \(341\)

b) \(B = {5^{100}} + {5^{101}} + {5^{102}} + ... + {5^{300}}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{5^{100}} + {5^{101}} + {5^{102}}} \right) + ... + \left( {{5^{298}} + {5^{299}} + {5^{300}}} \right)\\ = {5^{100}}\left( {1 + 5 + {5^2}} \right) + ... + {5^{298}}\left( {1 + 5 + {5^2}} \right)\\ = {5^{100}}.31 + ... + {5^{298}}.31\\ = 31.\left( {{5^{100}} + ... + {5^{298}}} \right) \vdots 31\end{array}\)

Vậy \(B\) chia hết cho \(31\).

c) \(C = {11^{1001}} + {11^{1002}} + {11^{1003}} + ... + {11^{2020}}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{{11}^{1001}} + {{11}^{1002}} + {{11}^{1003}}} \right) + ... + \left( {{{11}^{2018}} + {{11}^{2019}} + {{11}^{2020}}} \right)\\ = {11^{1001}}\left( {1 + 11 + {{11}^2}} \right) + ... + {11^{2018}}\left( {1 + 11 + {{11}^2}} \right)\\ = {11^{1001}}.133 + ... + {11^{2018}}.133\\ = 133\left( {{{11}^{1001}} + {{...11}^{2018}}} \right) \vdots 133\end{array}\)

d) \(D = 7 + {7^2} + {7^3} + ... + {7^{4n}}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {7 + {7^2} + {7^3} + {7^4}} \right) + ... + \left( {{7^{4n - 3}} + {7^{4n - 2}} + {7^{4n - 1}} + {7^{4n}}} \right)\\ = 7\left( {1 + 7 + {7^2} + {7^3}} \right) + ... + {7^{4n}}\left( {{7^3} + {7^2} + 7 + 1} \right)\\ = 7.400 + ... + {7^{4n}}.400\\ = 400\left( {7 + ... + {7^{4n}}} \right) \vdots 400\end{array}\)

Vậy \(D\) chia hết cho \(400\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link