Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\) thì a) \({3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n}\) chia

Câu hỏi số 578871:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\) thì

a) \({3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n}\) chia hết cho 10;

b) \({8^{n + 5}} - {24^{n + 4}} + {56^{n + 7}} - {2^{3n + 12}}\) chia hết cho \(128\);

c) \({11.5^{2n}} + {2^{3n + 2}} + {2^{3n + 1}}\) chia hết cho \(17\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:578871

Phương pháp giải

+ Để chứng minh 1 tổng \({A^n}\) chia hết cho một số \(k\) thì

Cách 1: Ta có thể phân tích \({A^n}\) thành các thừa số, trong đó có một thừa số là \(k\);

Cách 2: Ta phân tích\({A^n}\) thành tổng các số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho \(k\)

+ Luỹ thừa của luỹ thừa: \({\left( {{x^n}} \right)^m} = {x^{n.m}}\)

Giải chi tiết

a) \({3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{3^{n + 2}} + {3^n}} \right) - \left( {{2^{n + 2}} + {2^n}} \right)\\ = {3^n}\left( {{3^2} + 1} \right) - {2^n}\left( {{2^2} + 1} \right)\\ = {3^n}.10 - {2^n}.5\\ = {3^n}.10 - {2^{n - 1}}.2.5\\ = {3^n}.10 - {2^{n - 1}}.10\\ = \left( {{3^n} - {2^{n - 1}}} \right).10 \vdots 10\end{array}\)

Vậy với mỗi số nguyên dương \(n\) thì \({3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n}\) chia hết cho \(10\)

b) \({8^{n + 5}} - {24^{n + 4}} + {56^{n + 7}} - {2^{3n + 12}}\)

\(\begin{array}{l} = {8^{n + 5}} - {\left( {8.3} \right)^{n + 4}} + {\left( {8.7} \right)^{n + 7}} - {2^{3\left( {n + 4} \right)}}\\ = {8^{n + 5}} - {8^{n + 4}}{.3^{n + 4}} + {8^{n + 7}}{.7^{n + 7}} - {8^{n + 4}}\\ = \left( {{8^{n + 5}} - {8^{n + 4}}{{.3}^{n + 4}}} \right) + \left( {{8^{n + 7}}{{.7}^{n + 7}} - {8^{n + 4}}} \right)\\ = {8^{n + 4}}\left( {8 - {3^{n + 4}}} \right) + {8^{n + 4}}\left( {{8^3}{{.7}^{n + 7}} - 1} \right)\\ = {8^{n + 4}}\left( {8 - {3^{n + 4}} + {8^3}{{.7}^{n + 7}} - 1} \right)\\ = {8^{n + 4}}\left( {7 - {3^{n + 4}} + {8^3}{{.7}^{n + 7}}} \right)\\ = {8^{n + 1}}.\left( {7 - {3^{n + 4}} + {8^3}{{.7}^{n + 7}}} \right)\\ = {8^{n + 1}}.512\left( {7 - {3^{n + 4}} + {8^3}{{.7}^{n + 7}}} \right)\\ = {8^{n + 1}}.128.3\left( {7 - {3^{n + 4}} + {8^3}{{.7}^{n + 7}}} \right) \vdots 128\end{array}\)

Vậy với mỗi số nguyên dương \(n\) thì \({8^{n + 5}} - {24^{n + 4}} + {63^{n + 7}} - {2^{3n + 12}}\) chia hết cho \(128\)

c) \({11.5^{2n}} + {2^{3n + 3}} + {2^{3n + 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {17 - 6} \right){.5^{2n}} + {2^{3n}}{.2^2} + {2^{3n}}.2\\ = {17.5^{2n}} - {6.5^{2n}} + {2^{3n}}\left( {{2^2} + 2} \right)\\ = {17.5^{2n}} - {6.5^{2n}} + {6.2^{3n}}\\ = {17.5^{2n}} - 6\left( {{5^{2n}} - {2^{3n}}} \right)\\ = {17.5^{2n}} - 6\left( {{{25}^n} - {8^n}} \right)\end{array}\)

Ta có :

+ \({17.5^{2n}} \vdots 17\)

+ \(\left( {{{25}^n} - {8^n}} \right) \vdots \left( {25 - 8} \right) \vdots 17\)

Suy ra \({17.5^{2n}} - 6\left( {{{25}^n} - {8^n}} \right) \vdots 17\) hay \({11.5^{2n}} + {2^{3n + 2}} + {2^{3n + 1}} \vdots 17\)

Vậy với mỗi số nguyên dương \(n\) thì \({11.5^{2n}} + {2^{3n + 2}} + {2^{3n + 1}} \vdots 17\) chia hết cho \(17\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link