Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), điểm \(D\) thuộc cung nhỏ

Câu hỏi số 580458:

Vận dụng

Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), điểm \(D\) thuộc cung nhỏ (D khác A và B). Các tiếp tuyến ứng với đường tròn \(\left( O \right)\) tại B và C cắt AD theo thứ tự tại E và G. Gọi I là giao điểm của CE và BG.

a) Chứng minh rằng \(\Delta EBC \sim \Delta BCG\).

b) Tính số đo góc BIC. Từ đó, hãy chứng minh rằng tứ giác BIDE nội tiếp.

c) Gọi K là giao điểm của DI và BC. Chứng minh rằng \(B{K^2} = KI.KD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:580458

Phương pháp giải

a) \(\dfrac{{EB}}{{CA}} = \dfrac{{AB}}{{CG}}\); \(\angle ABE = \angle ACG\)\( \Rightarrow \Delta EBC \sim \Delta BCG\left( {c.g.c} \right)\)

b) + Vận dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác

+ \(\angle EDB = \angle EIB\) dẫn đến tứ giác \(BIDE\) nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

c) \(\Delta IKB \sim \Delta BKD\left( {g.g} \right) \Rightarrow KI.KD = K{B^2}\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng \(\Delta EBC \sim \Delta BCG\).

Vì EB là tiếp tuyến của (O) nên \(\angle EBA = \angle ACB = {60^0}\) đẫn đến \(\angle EBC = \angle EBA + \angle ABC = {120^0}\), tương tự ta cũng có \(\angle BCG = {120^0}\) nên \(\angle EBC = \angle BCG = {120^0}\).

Ta sẽ chứng minh: \(\dfrac{{EB}}{{BC}} = \dfrac{{BC}}{{CG}}\) thay \(BC = AB = AC\) ta quy về chứng minh \(\dfrac{{EB}}{{CA}} = \dfrac{{AB}}{{CG}}\).

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta GCA\) ta có:

\(\angle EBA = \angle ACG = {60^0}\)

\(\angle BAE = {180^0} - \angle EBA - \angle EAB = {180^0} - {60^0} - \angle EAB = {180^0} - \angle BAC - \angle EAB = \angle CAG\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta GCA\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{EB}}{{CA}} = \dfrac{{AB}}{{CG}}\\ \Rightarrow \dfrac{{EB}}{{BC}} = \dfrac{{BC}}{{CG}}\\ \Rightarrow \Delta EBC \sim \Delta BCG\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

b) Tính số đo góc BIC. Từ đó, hãy chứng minh rằng tứ giác BIDE nội tiếp.

Từ chứng minh ở trên ta suy ra \(\angle GBC = \angle BEC\) và \(\angle ECB = \angle BGC\) dẫn đến \(\angle BIC = {180^0} - \angle IBC - \angle ICB = {180^0} - \angle ECB - \angle BEC = {120^0}\) do \(\angle EBC = {120^0}\)

Từ đó ta cũng suy ra \(\angle EIB = {180^0} - \angle BIC = {60^0}\)

Ta có \(ADBC\) là tứ giác nội tiếp nên \(\angle EDC = \angle ACB = {60^0}\) suy ra \(\angle EDB = \angle EIB\) dẫn đến tứ giác \(BIDE\) nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

c) Gọi K là giao điểm của DI và BC. Chứng minh rằng \(B{K^2} = KI.KD\).

Từ \(BIBE\) nội tiếp suy ra \(\angle KDB = \angle IDB = \angle IEB = \angle CEB = \angle GBC = \angle IBC\) nên \(\Delta IKB \sim \Delta BKD\left( {g.g} \right)\) dẫn đến \(\dfrac{{IK}}{{KB}} = \dfrac{{BK}}{{KD}}\) hay \(KI.KD = K{B^2}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link