Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :a) \(\sqrt 2 + 7\) b)

Câu hỏi số 582285:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :

a) \(\sqrt 2 + 7\)

b) \(\sqrt {13} - \left( { - 3} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:582285

Phương pháp giải

+ Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

+ Chứng minh \(\sqrt 2 ;\sqrt {13} \) là số vô tỉ (chứng minh ở bài 8)

+ Tổng của một số vô tỉ và một số hữu tỉ là một số vô tỉ.

* Quy tắc dấu ngoặc khi phá ngoặc có dấu trừ đằng trước ta cần đổi dấu các số hạng trong ngoặc:

\( - \left( {a + b - c} \right) = - a - b + c\)

Giải chi tiết

a) Ta đã chứng minh ở bài 8: \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ.

Mà tổng của một số vổ tỉ và một số hữu tỉ là một số vô tỉ

\( \Rightarrow \sqrt 2 + 7\) là số vô tỉ

b) * Chứng minh \(\sqrt {13} \) là số vô tỉ

Giả sử \(\sqrt {13} \) là số hữu tỉ

\( \Rightarrow \sqrt {13} = \dfrac{a}{b}\left( {a,b \in \mathbb{N};b \ne ;\dfrac{a}{b}\;toi\;gian} \right)\)

\( \Leftrightarrow 13 = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\) hay \({a^2} = 13{b^2} \vdots 13\)

\( \Rightarrow {a^2} \vdots 13\)

Mà \(13\) là số nguyên tố

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a \vdots 13\left( * \right)\\ \Rightarrow {a^2} \vdots {13^2}\;hay\;{a^2} \vdots 169\\ \Rightarrow 13{b^2} \vdots 169\\ \Rightarrow {b^2} \vdots 13 \Rightarrow b \vdots 13\left( {**} \right)\end{array}\)

Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( {**} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{a}{b}\) không phải là phân số tối giản (mâu thuẫn)

\( \Rightarrow \sqrt {13} \) là số vô tỉ

Ta có: \(\sqrt {13} - \left( { - 3} \right) = \sqrt {13} + 3\)

Vì tổng của một số vổ tỉ và một số hữu tỉ là một số vô tỉ

\( \Rightarrow \sqrt {13} - \left( { - 3} \right)\) là số vô tỉ

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link