Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm P nằm ngoài \(\left( O \right)\). Kẻ hai tiếp tuyến PM,

Câu hỏi số 583096:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm P nằm ngoài \(\left( O \right)\). Kẻ hai tiếp tuyến PM, PN với đường tròn \(\left( O \right)\) (M, N là tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua P cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm B, C (PB < PC, d không đi qua tâm O).

1. Chứng minh tứ giác PMON nội tiếp.

2. Chứng minh \(P{N^2} = PB.PC\). Tính độ dài đoạn thẳng BC khi \(PB = 4\,\,cm,\,\,PN = 6\,\,cm\).

3. Gọi I là trung điểm BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // BC.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:583096

Phương pháp giải

1. Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

2. \(\Delta PBN \sim \Delta PNC\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow P{N^2} = PB.PC\), thay \(PB = 4\,\,cm,\,\,PN = 6\,\,cm\) từ đó tính được PC suy ra BC

3. 5 điểm O, I, M, P, N cùng thuộc 1 đường tròn

\(\angle NIP = \angle NTM\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MT // BC

Giải chi tiết

1. Chứng minh tứ giác PMON nội tiếp.

Vì PM, PN là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) lần lượt tại M, N nên \(\angle OMP = \angle ONP = {90^0}\) (định nghĩa tiếp tuyến)

Xét tứ giác PMON có: \(\angle OMP + \angle ONP = {90^0} + {90^0} = {180^0}\), mà 2 góc này ở vị trí 2 góc đối diện

\( \Rightarrow PMON\) là tứ giác nội tiếp (dhnb) (1)

2. Chứng minh \(P{N^2} = PB.PC\). Tính độ dài đoạn thẳng BC khi \(PB = 4\,\,cm,\,\,PN = 6\,\,cm\).

Xét \(\Delta PBN\) và \(\Delta PNC\) có:

\(\angle PNB = \angle PCN\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BN)

\(\angle NPC\) chung

\( \Rightarrow \Delta PBN \sim \Delta PNC\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{PB}}{{PN}} = \dfrac{{PN}}{{PC}}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow P{N^2} = PB.PC\).

Thay \(PB = 4\,\,cm,\,\,PN = 6\,\,cm\) ta có:

\({6^2} = 4.PC \Leftrightarrow PC = \dfrac{{36}}{4} = 9\,\,\left( {cm} \right)\)

Vậy \(BC = PC - PB = 9 - 4 = 5\,\,\left( {cm} \right)\).

3. Gọi I là trung điểm BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // BC.

Vì I là trung điểm của BC (gt) \( \Rightarrow OIC\) tại I (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow \angle OIP = {90^0} = \angle OMP\)

Mà 2 góc này ở vị trí hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh OP.

\( \Rightarrow \) Tứ giác OIMP nội tiếp (dhnb) (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, I, M, P, N cùng thuộc 1 đường tròn

\( \Rightarrow \angle NIP = \angle NMP\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung NP).

Mà \(\angle NMP = \angle NTM\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MN)

\( \Rightarrow \angle NIP = \angle NTM\)

Mà 2 góc này ở vị trí hai góc đồng vị.

Vậy MT // BC (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link