Tam giác ABC có độ dài ba đường trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15. Diện tích tam giác ABC

Câu hỏi số 584663:

Vận dụng cao

Tam giác ABC có độ dài ba đường trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15. Diện tích tam giác ABC bằng:

A. 24

B. \(24\sqrt 2 \)

C. 72

D. \(72\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:584663

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyế, giải hệ phương trình tìm a, b, c.

Sử dụng định lí Cosin trong tam giác ABC tính cosA.

Tính \(\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \).

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = 81\\m_b^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} = 144\\m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4} = 225\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 292\\{b^2} = 208\\{c^2} = 100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\sqrt {73} \\b = 4\sqrt {13} \\c = 10\end{array} \right.\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \dfrac{{208 + 100 - 292}}{{2.4\sqrt {13} .10}} = \dfrac{1}{{5\sqrt {13} }}\\ \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{1}{{5\sqrt {13} }}} \right)}^2}} = \dfrac{{18\sqrt {13} }}{{65}}\end{array}\)

Vậy diện tích tam giác ABC là: \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}.4\sqrt {13} .10.\dfrac{{18\sqrt {13} }}{{65}} = 72\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10