Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thoả mãn \(\left(

Câu hỏi số 585331:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thoả mãn \(\left( {{5^b} - 1} \right)\left( {a{{.2}^b} - 5} \right) < 0\)?

A. 20.

B. 21.

C. 22.

D. 19.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:585331

Phương pháp giải

Xét hai trường hợp: \({5^b} - 1\) và \(\left( {a{{.2}^b} - 5} \right)\)trái dấu.

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\dfrac{5}{a} < 0\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a > 5\), từ đó tìm ra điều kiện của a, b. Dựa vào hàm số \(y = {a^x}(a > 1)\) đồng biến.

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\dfrac{5}{a} > 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < a < 5\), từ đó tìm ra điều kiện của a, b. Dựa vào hàm số \(y = {a^x}(a > 1)\) đồng biến.

Kết hợp hai trường hợp, chỉ ra các giá trị a thoả mãn.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {{5^b} - 1} \right)\left( {a{{.2}^b} - 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^b} - 1 = 0\\a{.2^b} - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = {\log _2}\dfrac{5}{a}\end{array} \right.\)

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\dfrac{5}{a} < 0\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a > 5.\)

Vì hàm số \(y = {a^x}(a > 1)\)là hàm đồng biến nên \(({5^b} - 1)(a{.2^b} - 5) < 0 \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{5}{a} < b < 0.\)

Yêu cầu của bài toán suy ra \( - 3 \le {\log _2}\dfrac{5}{a} < - 2\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{8} \le \dfrac{5}{a} < \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 40\\a > 20\end{array} \right.\)

Vì a là số tự nhiên nên \(a \in {\rm{\{ }}21;22;...;40\} \)

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\dfrac{5}{a} > 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < a < 5.\)

Vì hàm số \(y = {a^x}\,\,(a > 1)\) là hàm đồng biến nên \(({5^b} - 1)(a{.2^b} - 5) < 0\)\( \Leftrightarrow 0 < b < lo{g_2}\dfrac{5}{a}.\)

Yêu cầu của bài toán suy ra \(2 \le {\log _2}\dfrac{5}{a} < 3\)\( \Leftrightarrow 4 \le \dfrac{5}{a} < 8\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le \dfrac{5}{4}\\a > \dfrac{5}{8}\end{array} \right.\)

Vì a là số tự nhiên nên a = 1.

Vậy có 21 số nguyên thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.