Xét các số thực x, y sao cho \({49^{9 - {y^2}}} \ge {a^{4x - {{\log }_7}{a^2}}}\)với mọi số thực dương

Câu hỏi số 585335:

Vận dụng cao

Xét các số thực x, y sao cho \({49^{9 - {y^2}}} \ge {a^{4x - {{\log }_7}{a^2}}}\)với mọi số thực dương a. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 4x - 3y\)bằng

A. \(\dfrac{{121}}{4}.\)

B. \(\dfrac{{39}}{4}.\)

C. \(24.\)

D. \(39.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:585335

Phương pháp giải

- Biến đổi \({49^{9 - {y^2}}} \ge {a^{4x - {{\log }_7}{a^2}}}\)về dạng đơn giản hơn.

- Đặt \(t = {\log _7}a\) rồi quy về phương trình bậc 2 ẩn t là \({t^2} - 2xt + 9 - {y^2} \ge 0.\,\,\)

- Phương trình trên đúng với mọi số thực t nên \(\Delta ' \le 0\). Từ đó suy ra điều kiện \({x^2} + {y^2} \le 9.\)

- Tìm GTLN của P với điều kiện \({x^2} + {y^2} \le 9.\)

Giải chi tiết

Ta có \({49^{9 - {y^2}}} \ge {a^{4x - {{\log }_7}{a^2}}} \Leftrightarrow {\log _7}({49^{9 - {y^2}}}) \ge {\log _7}({a^{4x - {{\log }_7}{a^2}}})\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (9 - {y^2}){\log _7}(49) \ge (4x - {\log _7}{a^2}){\log _7}(a)\\ \Leftrightarrow 2(9 - {y^2}) \ge 2(2x - {\log _7}a){\log _7}(a).\,\,(1)\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _7}a\), khi a > 0 thì \(t \in \mathbb{R}\), (1) trở thành \({t^2} - 2xt + 9 - {y^2} \ge 0.\,\,(2)\)

đúng với mọi a > 0 tương đương (2) đúng với mọi\(t \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' = {x^2} - 9 + {y^2} \le 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 9.\)

Xét \({\left( {4x - 3y} \right)^2} \le (16 + 9)({x^2} + {y^2})\)\( \Rightarrow {\left( {4x - 3y} \right)^2} \le 225 \Rightarrow \left( {4x - 3y} \right) \le 15.\)

Suy ra \(P = {x^2} + {y^2} + 4x - 3y\)\( \le 9 + 15 = 24\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{{ - 3}}\\{x^2} + {y^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{12}}{5};y = \dfrac{{ - 9}}{5}\\x = \dfrac{{ - 12}}{5};y = \dfrac{9}{5}\end{array} \right..\)

Vậy GTLN của P là 24.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.