Có bao nhiêu số phức z thoả mãn \(\left| {{z^2}} \right| = \left| {z - \overline z } \right|\) và \(\left|

Câu hỏi số 585337:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số phức z thoả mãn \(\left| {{z^2}} \right| = \left| {z - \overline z } \right|\) và \(\left| {(z + 2)(\overline z + 2i)} \right| = {\left| {z - 2i} \right|^2}\)?

A. 4.

B. 2

C. 3.

D. 1.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:585337

Phương pháp giải

- Đặt \(z = a + bi\)với \(a;b \in \mathbb{R}\)

- Từ hai dữ kiện đề bài cho lập các phương trình ẩn a, b.

- Giải các phương trình tìm a, b.

Giải chi tiết

Gọi \(z = a + bi\)với \(a;b \in \mathbb{R}\),

Ta có \(\left| {{z^2}} \right| = \left| {z - \overline z } \right| \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\left| b \right|\,(*)\)

Mặt khác \(\left| {(z + 2)(\overline z + 2i)} \right| = {\left| {z - 2i} \right|^2}\,\,(**)\)

Vì \(\overline {\overline z + 2i} = z - 2i\)nên \(\left| {\overline z + 2i} \right| = \left| {z - 2i.} \right|\)

Nên từ (**) ta có \(\left[ \begin{array}{l}\left| {z - 2i} \right| = 0 \Rightarrow z = 2i\\\left| {z + 2} \right| = \left| {z - 2i} \right|\end{array} \right.\)

Với \(\left| {z - 2i} \right| = 0 \Rightarrow z = 2i\) thoả mãn (*)

Với \(\left| {z + 2} \right| = \left| {z - 2i} \right|\)\( \Rightarrow {(a + 2)^2} + {b^2} = {a^2} + {(b - 2)^2}\)\( \Leftrightarrow a = - b\) thay vào (*) ta được:

\({b^2} + {b^2} = 2\left| b \right|\)\( \Leftrightarrow {b^2} = \left| b \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = 1\\b = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - 1\\a = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = - 1 + i\\z = 1 - i\end{array} \right.\)

Vậy có tất cả 3 số phức thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.