Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{2n + 1}}\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}}

Câu hỏi số 586188:

Vận dụng

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{2n + 1}}\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:586188

Phương pháp giải

Chứng minh hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\, > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Giải chi tiết

Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{n + 1 - 1}}{{2\left( {n + 1} \right) + 1}} - \frac{{n - 1}}{{2n + 1}}\\ = \frac{n}{{2n + 3}} - \frac{{n - 1}}{{2n + 1}}\\ = \frac{{2{n^2} + n - \left( {2{n^2} - 2n + 3n - 3} \right)}}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\\ = \frac{3}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}} > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

\( \Rightarrow H = {u_{n + 1}} - {u_n} > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.