Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = c,\;AC = b\). Gọi \({\ell _a}\) là độ dài đoạn phân giác

Câu hỏi số 586358:

Vận dụng cao

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = c,\;AC = b\). Gọi \({\ell _a}\) là độ dài đoạn phân giác trong góc \(\angle BAC\). Tính \({\ell _a}\) theo \(b\) và \(c\).

A. \({\ell _a} = \dfrac{{\sqrt 2 bc}}{{b + c}}.\)

B. \({\ell _a} = \dfrac{{2\left( {b + c} \right)}}{{bc}}.\)

C. \({\ell _a} = \dfrac{{2bc}}{{b + c}}.\)

D. \({\ell _a} = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {b + c} \right)}}{{bc}}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:586358

Phương pháp giải

- Gọi AD là đường phân giác trong góc \(\angle BAC\) (D thuộc BC).

- Tính độ dài BD theo công thức tỉ lệ độ dài đường phân giác.

- Tính AD dựa vào định lí côsin trong tam giác ABD.

Giải chi tiết

Gọi AD là đường phân giác trong góc \(\angle BAC\) (D thuộc BC).

Ta có: \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)\( \Rightarrow BD = \dfrac{{AB}}{{AC}}.DC = \dfrac{c}{b}.DC\)

Mà \(DC = BC - BD = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} - BD = \sqrt {{b^2} + {c^2}} - BD\)

\( \Rightarrow BD = \dfrac{c}{b}\left( {\sqrt {{b^2} + {c^2}} - BD} \right) = \dfrac{c}{b}\sqrt {{b^2} + {c^2}} - BD.\dfrac{c}{b}\)

\( \Rightarrow BD\left( {1 + \dfrac{c}{b}} \right) = \dfrac{c}{b}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \)\( \Rightarrow BD = \dfrac{{c\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{b + c}}.\)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD ta có:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos BAD\)

\( \Rightarrow B{D^2} = {c^2} + A{D^2} - 2.c.AD.\cos {45^0}\)

\( \Rightarrow A{D^2} - c.\sqrt 2 .AD + \left( {{c^2} - \dfrac{{{c^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}} \right) = 0\)

\( \Rightarrow A{D^2} - c.\sqrt 2 .AD + \dfrac{{2b{c^3}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^3}}} = 0\)

\( \Rightarrow AD = \dfrac{{\sqrt 2 bc}}{{b + c}}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.