Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = c,\;AC = b\). Gọi \({\ell _a}\) là độ dài đoạn phân giác

Câu hỏi số 586358:

Vận dụng cao

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = c,\;AC = b\). Gọi \({\ell _a}\) là độ dài đoạn phân giác trong góc \(\angle BAC\). Tính \({\ell _a}\) theo \(b\) và \(c\).

A. \({\ell _a} = \dfrac{{\sqrt 2 bc}}{{b + c}}.\)

B. \({\ell _a} = \dfrac{{2\left( {b + c} \right)}}{{bc}}.\)

C. \({\ell _a} = \dfrac{{2bc}}{{b + c}}.\)

D. \({\ell _a} = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {b + c} \right)}}{{bc}}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:586358

Phương pháp giải

- Gọi AD là đường phân giác trong góc \(\angle BAC\) (D thuộc BC).

- Tính độ dài BD theo công thức tỉ lệ độ dài đường phân giác.

- Tính AD dựa vào định lí côsin trong tam giác ABD.

Giải chi tiết

Gọi AD là đường phân giác trong góc \(\angle BAC\) (D thuộc BC).

Ta có: \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)\( \Rightarrow BD = \dfrac{{AB}}{{AC}}.DC = \dfrac{c}{b}.DC\)

Mà \(DC = BC - BD = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} - BD = \sqrt {{b^2} + {c^2}} - BD\)

\( \Rightarrow BD = \dfrac{c}{b}\left( {\sqrt {{b^2} + {c^2}} - BD} \right) = \dfrac{c}{b}\sqrt {{b^2} + {c^2}} - BD.\dfrac{c}{b}\)

\( \Rightarrow BD\left( {1 + \dfrac{c}{b}} \right) = \dfrac{c}{b}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \)\( \Rightarrow BD = \dfrac{{c\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{b + c}}.\)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD ta có:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos BAD\)

\( \Rightarrow B{D^2} = {c^2} + A{D^2} - 2.c.AD.\cos {45^0}\)

\( \Rightarrow A{D^2} - c.\sqrt 2 .AD + \left( {{c^2} - \dfrac{{{c^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}} \right) = 0\)

\( \Rightarrow A{D^2} - c.\sqrt 2 .AD + \dfrac{{2b{c^3}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^3}}} = 0\)

\( \Rightarrow AD = \dfrac{{\sqrt 2 bc}}{{b + c}}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10