Tập giá trị của tham số a để phương trình \(\log _{\frac{1}{3}}^2x - 2a{\log _3}x - 1 = 0\) có nghiệm

Câu hỏi số 587197:

Vận dụng

Tập giá trị của tham số a để phương trình \(\log _{\frac{1}{3}}^2x - 2a{\log _3}x - 1 = 0\) có nghiệm thỏa mãn \(x > \sqrt 3 \) là \(\left( { - \dfrac{p}{q}; + \infty } \right)\) trong đó \(\dfrac{p}{q}\) là phân số tối giản, \(p,\,\,q \in \mathbb{N}*\). Tính \(\sqrt {{q^2} - {p^2}} \).

A. \(\sqrt 5 \).

B. \(\sqrt 7 \).

C. 5.

D. 7.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:587197

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = {\log _3}x\).

- Tìm điều kiện của \(t\) ứng với \(x > \sqrt 3 \).

- Cô lập m, đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = 2a\).

- Lập BBT hàm số y = f(t) và tìm điều kiện của a để phương trình có nghiệm thỏa mãn.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Ta có: \(\log _{\frac{1}{3}}^2x - 2a{\log _3}x - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - {{\log }_3}x} \right)^2} - 2a{\log _3}x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \log _3^2x - 2a{\log _3}x - 1 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _3}x\). Phương trình trở thành \({t^2} - 2at - 1 = 0\,\,\left( * \right)\)

Với \(x > \sqrt 3 \Rightarrow {\log _3}x > {\log _3}\sqrt 3 = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t > \dfrac{1}{2}\).

Để phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn \(x > \sqrt 3 \) thì (*) có nghiệm thỏa mãn \(t > \dfrac{1}{2}\).

\(\left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 2at \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - 1}}{t} = 2a\).

Xét hàm số\(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 1}}{t} = t - \dfrac{1}{t}\) với \(t > \dfrac{1}{2}\) ta có: \(f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{{{t^2}}} > 0\,\,\forall t > \dfrac{1}{2}\)

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để (*) có nghiệm thỏa mãn \(t > \dfrac{1}{2}\) thì \(2a > - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow a > - \dfrac{3}{4}\).

\( \Rightarrow p = 3,\,\,q = 4\).

Vậy \(\sqrt {{q^2} - {p^2}} = \sqrt {{4^2} - {3^2}} = \sqrt 7 \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.