Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = OC = 2. Gọi I là

Câu hỏi số 587542:

Vận dụng

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = OC = 2. Gọi I là trung điểm của AB và H là hình chiếu vuông góc của O trên cạnh AC. Thể tích của khối tứ diện AOIH bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{{15}}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{{30}}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{{24}}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{{12}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:587542

Phương pháp giải

- Tính tỉ số \(\dfrac{{HA}}{{CA}}\) dựa vào tam giác đồng dạng.

- Chứng minh \(\dfrac{{d\left( {H,\left( {OAB} \right)} \right)}}{{d\left( {C,\left( {OAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{HA}}{{CA}}\).

- Tính tỉ số \(\dfrac{{{S_{OAI}}}}{{{S_{OAB}}}}\).

- Sử dụng \(\dfrac{{{V_{AOHI}}}}{{{V_{OABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}d\left( {H,\left( {OAI} \right)} \right).{S_{OAI}}}}{{\dfrac{1}{3}d\left( {C,\left( {OAB} \right)} \right).{S_{OAB}}}}\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện vuông: \({V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}.OA.OB.OC\).

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\Delta OHA\~\Delta COA\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{HA}}{{OA}} = \dfrac{{OA}}{{CA}}\\ \Rightarrow \dfrac{{HA}}{{CA}} = \dfrac{{O{A^2}}}{{C{A^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{5}\end{array}\)

Khi đó \(\dfrac{{d\left( {H,\left( {OAB} \right)} \right)}}{{d\left( {C,\left( {OAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{HA}}{{CA}} = \dfrac{1}{5}\)

Vì I là trung điểm của AB nên \({S_{OAI}} = \dfrac{1}{2}{S_{OAB}}\)

Ta có \(\dfrac{{{V_{AOHI}}}}{{{V_{OABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}d\left( {H,\left( {OAI} \right)} \right).{S_{OAI}}}}{{\dfrac{1}{3}d\left( {C,\left( {OAB} \right)} \right).{S_{OAB}}}} = \dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{10}}\)

\( \Rightarrow {V_{AOHI}} = \dfrac{1}{{10}}{V_{OABC}} = \dfrac{1}{{10}}.\dfrac{1}{6}.OA.OB.OC = \dfrac{1}{{60}}.a.2a.2a = \dfrac{{{a^3}}}{{15}}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.