Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, \(AB = \sqrt 7 ,\) BC = 1 và SA = SB = SC. Góc giữa
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, \(AB = \sqrt 7 ,\) BC = 1 và SA = SB = SC. Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) bằng \({45^{\rm{o}}}\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AC, BC.
- Dựng góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC).
- Tính SH.
- Tính thể tích khối chóp
Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AC, BC.
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại B, H là trung điểm của AC => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
=> HA = HB = HC.
Hơn nữa SA = SB = SC (gt). Khi đó \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có: HI // AB (do HI là đường trung bình của tam giác ABC).
Mà \(AB \bot BC\) (gt)
\( \Rightarrow HI \bot BC\) (từ vuông góc đến song song)
Hơn nữa \(SH \bot BC\) (do \(SH \bot \left( {ABC} \right)\))
Do đó \(\left( {SHI} \right) \bot BC \Rightarrow \left( {SHI} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)
Trong (SHI) kẻ \(HF \bot SI\,\,\left( {F \in SI} \right)\)
Khi đó \(HF \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow \left( {AC,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {HC,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {HC,FC} \right) = \angle HCF = {45^0}\)
Ta có: \(\Delta ABC\) vuông tại B \( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} + {1^2}} = 2\sqrt 2 \) (định lí Pythagore)
Do đó \(HC = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \)
Vì \(HF \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow HF \bot CF \Rightarrow \Delta HCF\) vuông tại F. Lại có \(\angle HCF = {45^0}\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\Delta HCF\) vuông cân tại F.
Mà \(HC = \sqrt 2 \) nên \(HF = CF = 1\).
Ta có: \(HI = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\)
\(\Delta HFI\) vuông tại \(F\)\( \Rightarrow FI = \sqrt {H{I^2} - H{F^2}} = \sqrt {\dfrac{7}{4} - 1} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Lại có: \(H{I^2} = FI.SI \Rightarrow SI = \dfrac{{H{I^2}}}{{FI}} = \dfrac{{\dfrac{7}{4}}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{7\sqrt 3 }}{6}\)
\( \Rightarrow SH = \sqrt {S{I^2} - H{I^2}} = \sqrt {\dfrac{{49}}{{12}} - \dfrac{7}{4}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{3}\)
Thể tích khối chóp đã cho bằng \(V = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt {21} }}{3}.\dfrac{1}{2}.\sqrt 7 .1 = \dfrac{{7\sqrt 3 }}{{18}}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
