Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \({60^0}\).

Câu hỏi số 587606:

Vận dụng

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \({60^0}\). Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. \(R = \dfrac{{5a\sqrt 3 }}{{12}}\).

B. \(R = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\).

C. \(R = \dfrac{{5a\sqrt 3 }}{6}\).

D. \(R = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:587606

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Sử dụng tam giác đồng dạng, suy ra tỉ số và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Giải chi tiết

Gọi O là tâm của mặt đáy, H là trung điểm của CD.

Khi đó \(OH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot CD\\OH \bot CD\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {SOH} \right) \bot CD\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SH,HO} \right) = \angle SHO = {60^0}\)

\( \Rightarrow SO = OH\tan {60^0} = \dfrac{a}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Gọi M là trung điểm SC.

Qua M kẻ đường thẳng vuông góc SC cắt SO tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Lại có: \(\Delta SMI\~\Delta SOC \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{SO}} = \dfrac{{SI}}{{SC}} \Rightarrow SI = \dfrac{{SM.SC}}{{SO}} = \dfrac{{S{C^2}}}{{2SO}}\)

Ta có: \(OC = \dfrac{{CD}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow SC = \sqrt {S{O^2} + O{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\\ \Rightarrow SI = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{5a\sqrt 3 }}{{12}}\end{array}\)

Vậy bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là \(R = \dfrac{{5a\sqrt 3 }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.