Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AD = a, AB = 2a. Biết tam giác SAB là tam giác
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AD = a, AB = 2a. Biết tam giác SAB là tam giác đều và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi H là trung điểm của AB, chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Trong (ABCD) kẻ \(HI \bot BD\,\,\left( {I \in BD} \right)\), trong (SHI) kẻ \(HK \bot SI\). Chứng minh \(HK \bot \left( {SBD} \right)\).
Sử dụng HTL trong tam giác vuông tính HK.
Chứng minh d(A,(SBD)) = 2d(H,(SBD)).
Gọi H là trung điểm của AB.
Vì tam giác SAB đều nên \(SH \bot AB\).
Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Trong (ABCD) kẻ \(HI \bot BD\,\,\left( {I \in BD} \right)\)
Trong (SHI) kẻ \(HK \bot SI\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot HI\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow BD \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot BD\\HK \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = HK\end{array}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\Delta BHI \sim \Delta BDA\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BD}} = \dfrac{{HI}}{{AD}}\\ \Rightarrow HI = \dfrac{{BH.AD}}{{BD}} = \dfrac{{a.a}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}\end{array}\)
Tam giác SAB đều AB = 2a nên \(SH = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Áp dụng HTL trong tam giác vuông SHI ta có:
\(HK = \dfrac{{SH.HI}}{{\sqrt {S{H^2} + H{I^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{a}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {3{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{5}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Vậy \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
