Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).

Câu hỏi số 589643:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD) với \(\tan \alpha = 2\). Gọi (P) là mặt phẳng chứa CD và vuông góc với (ABCD). Trên (P) lấy điểm M bất kì, thể tích khối tứ diện SAMB bằng

A. \({a^3}\sqrt 3 \).

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\).

C. \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:589643

Phương pháp giải

- Dựng \(\left( P \right)\).

- Kẻ \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Dựng góc giữa \(\left( {SAB} \right),\,\,\left( {SCD} \right)\). Tính SH.

- Tính \({S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SH.AB\).

- Tính thể tích khối tứ diện \(V = \dfrac{1}{3}d\left( {M,\left( {SAB} \right)} \right).{S_{\Delta SAB}}\).

Giải chi tiết

Trong (SAB) kẻ \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Kẻ \(HI//AD \Rightarrow HI \bot CD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HI\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHI} \right)\) \( \Rightarrow CD \bot SI.\)

Xét (SAB) và (SCD) có S chung, AB // CD => \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx//AB//CD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx//AB//CD\\SH \bot AB \Rightarrow SH \bot Sx\\SI \bot CD \Rightarrow SH \bot Sx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {SH,SI} \right) = \angle HSI = \alpha \).

Ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HI \Rightarrow \Delta SHI\) vuông tại H.

Theo giả thiết \(\tan \angle HSI = 2 \Rightarrow \dfrac{{HI}}{{HS}} = 2\) \( \Rightarrow HS = \dfrac{{HI}}{2} = \dfrac{{2a}}{2} = a\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SH.AB = \dfrac{1}{2}.a.2a = {a^2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \)\(\left( P \right)//\left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {M,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {SAB} \right)} \right)\).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot AB\\IH \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow IH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {I,\left( {SAB} \right)} \right) = IH = 2a\).

Thể tích khối tứ diện SAMB là \(V = \dfrac{1}{3}d\left( {M,\left( {SAB} \right)} \right).{S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{3}.2a.{a^2} = \dfrac{{2{a^3}}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.