Chứng minh rằng: \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ.

Câu hỏi số 589986:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:589986

Phương pháp giải

Để chứng minh một số là số vô tỉ ta dùng cách sau:

+ Giả sử số đó là số hữu tỉ dạng \(\dfrac{a}{b}\) (\(a,b \in \mathbb{N};b \ne 0;\dfrac{a}{b}\) tối giản)

+ Từ đó suy luận để tìm ra mâu thuẫn.

+ Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Giải chi tiết

a) Giả sử \(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ

\( \Rightarrow \sqrt 2 = \dfrac{a}{b}\) (\(a,b \in \mathbb{N};b \ne 0;\dfrac{a}{b}\) tối giản)

\( \Leftrightarrow 2 = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\) hay \({a^2} = 2.{b^2} \vdots 2\)

\( \Rightarrow {a^2} \vdots 2\)

Mà \(2\) là số nguyên tố

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a \vdots 2\left( 1 \right)\\ \Rightarrow {a^2} \vdots {2^2}\;hay\;{a^2} \vdots 4\\ \Rightarrow 2{b^2} \vdots 4\\ \Rightarrow {b^2} \vdots 2 \Rightarrow b \vdots 2\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \dfrac{a}{b}\) không phải là phân số tối giản (mâu thuẫn)

Vậy \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link