Tính tích phân I = dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 59209:

Tính tích phân I = $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{3x.cosx+2}{1+cot^{2}x}$ dx

A. I= 2/3 .n - $\frac{\sqrt{3}}{8}$ π + $\frac{\sqrt{3}}{4}$ - $\frac{11}{24}$

B. I = $\frac{2\pi}{2}$ - $\frac{\sqrt{3}}{8}$ π + $\frac{\sqrt{3}}{4}$ - $\frac{11}{24}$

C. I= $\frac{\pi}{6}$ + $\frac{\sqrt{3}}{4}$

D. I = -11/24

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:59209

Giải chi tiết

Ta có I = $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$ $\frac{3x.cosx+2}{1+cot^{2}x}$ dx = $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$ sin²x.(3x.cosx + 2)dx

= $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$ 3x.cosx.sin²xdx + $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$ 2sin²xdx

* Với I₁ = $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$ 3x.cosx.sin²xdx. Đặt u = x; dv = 3.cosx.sin²xdx.

=> du = dx ; v = sin³x

=> I₁ = x.sin³x $|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$ + $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$ (1- cos²x )d(cosx) = x.sin³x $|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$ + (cosx - $\frac{cos^{3}x}{3}$ ) $|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$

= $\frac{\pi}{2}$ - $\frac{\sqrt{3}\pi}{8}$ - $\frac{11}{24}$

* Với I₂ = $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$ 2sin²xdx = $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$ (1 - cos2x)dx = (x - $\frac{1}{2}$ sin2x) $|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$ = $\frac{\pi}{6}$ + $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Vậy I = I₁ + I₂ = 2/3 .n - $\frac{\sqrt{3}}{8}$ π + $\frac{\sqrt{3}}{4}$ - $\frac{11}{24}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.