Cho Parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:\,\,y = - 2x + m - 1\) (với m là tham

Câu hỏi số 594242:

Vận dụng

Cho Parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:\,\,y = - 2x + m - 1\) (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) sao cho \({\left( {{y_1} + {y_2}} \right)^2} = 110 - x_1^2 - x_2^2\).

A. \(m = 4\)

B. \(m = 2\)

C. \(m = 1\)

D. \(m = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594242

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) \(\left( 1 \right)\)

Để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\) theo \(m\)

Thay vào \({\left( {{y_1} + {y_2}} \right)^2} = 110 - x_1^2 - x_2^2\) để tìm \(m\).

Giải chi tiết

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} = - 2x + m - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - m + 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {1^2} - \left( { - m + 1} \right) = m\)

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow m > 0\).

Khi đó d cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thì \({y_1} = x_1^2,\,\,{y_2} = x_2^2\) và áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\{x_1}{x_2} = - m + 1\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {{y_1} + {y_2}} \right)^2} = 110 - x_1^2 - x_2^2\\ \Leftrightarrow {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} = 110 - \left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} + \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 110 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = x_1^2 + x_2^2 \ge 0\), phương trình trở thành \({t^2} + t - 110 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \(\Delta = {1^2} - 4.\left( { - 110} \right) = 441 > 0,\,\,\sqrt \Delta = 21\) nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{ - 1 + 21}}{2} = 10\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = \dfrac{{ - 1 - 21}}{2} = - 11\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 10 \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 10\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow 4 - 2\left( { - m + 1} \right) = 10\\ \Leftrightarrow 2\left( { - m + 1} \right) = - 6\\ \Leftrightarrow - m + 1 = - 3\\ \Leftrightarrow m = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = 4\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link