Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R) và AB <AC. Ba đường cao AD, BE, CF của tam giác
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R) và AB <AC. Ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC (D, E, F là các chân đường cao) đồng quy tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O;R). Gọi M là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AK.
a) Chứng minh rằng tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng tam giác ABD đồng dạng với tam giác AKC và MD song song với BK.
c) Giả sử hai đỉnh B, C cố định tren đường tròn (O;R) và đỉnh A di động trên cung lớn BC của đờng tròn (O;R). Chứng minh rằng đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố định và tìm vị trí của đỉnh A sao cho diện tích tam giác AEH lớn nhất.
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.
b) + \(\Delta ABD \sim \Delta ACK\,\,\left( {g.g} \right)\)
+ Vận dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
a) Chứng minh rằng tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.
Ta có: \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\), mà 2 góc này là 2 góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh BC.
\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b) Chứng minh rằng tam giác ABD đồng dạng với tam giác AKC và MD song song với BK.
Ta có: \(\angle ACK = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AKC\) có:
\(\angle ADB = \angle ACK = {90^0}\)
\(\angle ABD = \angle AKC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
\( \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta ACK\,\,\left( {g.g} \right)\).
Xét tứ giác ADMC có: \(\angle ADC = \angle AMC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\)
Mà 2 góc này là 2 góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh AC
\( \Rightarrow ADMC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle AMD = \angle ACD\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AD)
Lại có: \(\angle ACD = \angle ACB = \angle AKB\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
\( \Rightarrow \angle AMD = \angle AKB\)
Mà 2 góc này ở vị trí 2 góc đồng vị bằng nhau
\( \Rightarrow MD//BK\,\,\left( {dpcm} \right)\).
c) Giả sử hai đỉnh B, C cố định tren đường tròn (O;R) và đỉnh A di động trên cung lớn BC của đờng tròn (O;R). Chứng minh rằng đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố định và tìm vị trí của đỉnh A sao cho diện tích tam giác AEH lớn nhất.
*Đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố định
Gọi giao điểm của MF và BC là I
Ta có: \(\angle ABK = {90^0} \Rightarrow BK \bot AB\)
Mà \(CK \bot AB \Rightarrow BK//CF\)
Mặt khác \(BK//DM \Rightarrow DM//CF\)
Suy ra \(\angle MDC = \angle DCF\) (1)
Tứ giác ADMC nội tiếp \( \Rightarrow \angle MDC = \angle MAC\) (2)
Tứ giác AFMC nội tiếp \( \Rightarrow \angle MAC = \angle MFC\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\angle DCF = \angle MFC\) hay \(\angle ICF = \angle IFC\)
\( \Rightarrow \Delta IFC\) cân tại \(I \Rightarrow IF = IC\) (4)
Lại có: \(\angle IFC + \angle IFB = {90^0}\) và \(\angle IBF + \angle ICF = {90^0} \Rightarrow \angle IFB = \angle IBF\)
\( \Rightarrow \Delta BFI\) cân tại \(I \Rightarrow IB = \angle IF\) (5)
Từ (4) và (5) suy ra \(IB = IC\) hay là I là trung điểm của BC (cố định)
Vậy MF luôn đi qua điểm cố định là trung điểm của BC.
*Vị trí của đỉnh A sao cho diện tích tam giác AEH lớn nhất.
Ta có: BHCK là hình bình hành mà I là trung điểm của BC nên I là trung điểm của HK
Lại có O là trung điểm của AK suy ra OI là đường trung bình của tam giác \(AHK \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}AH\)
Ta có: \({S_{AHE}} = \dfrac{1}{2}HE.AE \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{{H{E^2} + A{E^2}}}{2} = \dfrac{1}{2}A{H^2} = O{I^2}\)
Dấu “=” xảy ra khi A là điểm chính giữa của cung lớn BC
Vậy diện tích tam giác AEH lớn nhất bằng \(O{I^2}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
