Cho tam giác ABC. a) Chứng minh tồn tại duy nhất một điểm I thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} +

Câu hỏi số 594653:

Vận dụng

Cho tam giác ABC.

a) Chứng minh tồn tại duy nhất một điểm I thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

b) Tìm quỹ tích điểm thỏa mãn \(\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} } \right|\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594653

Phương pháp giải

a) Chèn điểm A, sử dụng quy tắc ba điểm.

c) Chèn điểm I, sử quy quy tắc ba điểm và tìm quỹ tích.

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + 3\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 9\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {AB} + 4\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{4}{9}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Lấy các điểm E, F sao cho \(\overrightarrow {AE} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AF} = \dfrac{4}{9}\overrightarrow {AC} \) ta có: \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} \).

=> I là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEIF.

Vì A, B, C cố định => E, F cố định.

=> I là cố định và duy nhất.

Ta biểu diễn được điểm I như sau:

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {MI} + 4\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {9\overrightarrow {MI} + \left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} } \right)} \right| = AB\\ \Leftrightarrow 9MI = AB\\ \Leftrightarrow MI = \dfrac{1}{9}AB\end{array}\)

Vì A, B cố định nên AB không đổi, I cố định nên M thuộc đường tròn tâm I, bán kính \(R = \dfrac{1}{9}AB\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.