Trong các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| = √5, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Số phức

Câu hỏi số 5947:

A. |z| lớn nhất bằng 3√5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1+2i

B. |z| lớn nhất bằng √5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng $\frac{1}{\sqrt{5}}$ <=> z = 1+2i

C. |z| lớn nhất bằng 2√5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1+2i

D. |z| lớn nhất bằng 3√5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1-2i

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5947

Giải chi tiết

Theo giả thiết

|z – 2 – 4i| = √5 <=>|(x - 2) + (y - 4)i| = √5

<=> (x – 2)² + (y – 4)² = 5 (C) (1)

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z => M ∈ (C)

Khi đó |z|= OM = $\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$

Cho cát tuyến OAB của (C) và tiếp tuyến OT.

Ta có:

OA.OB = OT² = const => OA = $\frac{OT^{^{2}}}{OB}$ ;

OA nhỏ nhất <=> OB lớn nhất <=> OB đi qua tâm I của (C).

Do vậy |z| lớn nhất khi M ≡ B; |z| nhỏ nhất khi M ≡ A.

Gọi d là đường thẳng đi qua O; I có $\overrightarrow{OI}=(2;4)$ chọn vectơ pháp tuyến của (OI) là (2; -1), khi đó phương trình (OI): 2x - y = 0.

Giao điểm của OI và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 2x-y=0\\(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=5 \end{matrix}\right.$ <=> $\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=1\\y=2 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x=3\\y=6 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$

Gọi A(1;2) => $\overrightarrow{OA}=(1;2)$ => OA= √5; B(3; 6)

=> $\overrightarrow{OB}=(3;6)$ => OB = 3√5.

Vậy |z| lớn nhất bằng 3√5 <=> z = 3 + 6i;

|z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1+2i

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.