Cho phương trình \(2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số, biết phương

Câu hỏi số 595536:

Vận dụng

Cho phương trình \(2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số, biết phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Tìm \(m\) để biểu thức \(F = 4x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + 4x_2^2 - 1\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:595536

Phương pháp giải

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\) (hoặc \(\Delta ' > 0\))

Áp dụng hệ thức Vi – ét, tính được \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\) theo \(m\)

Thay vào biểu thức \(F = 4x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + 4x_2^2 - 1\) để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.2\left( { - m - 1} \right)\)\( = 4{m^2} - 4m + 1 + 8m + 8\)\( = 4{m^2} + 4m + 9\)

Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta = 4{m^2} + 4m + 9 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} + 8 \ge 0\) mọi m (luôn đúng)

Do đó với mọi \(m\) phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 2m + 1}}{2}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{ - m - 1}}{2}\end{array} \right.\)

Ta có:

\(F = 4x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + 4x_2^2 - 1\)

\( = 4\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 2{x_1}{x_2} - 1\)

\( = 4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 8{x_1}{x_2} + 2{x_1}{x_2} - 1\)

\( = 4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 6{x_1}{x_2} - 1\)

\(\begin{array}{l} = 4{\left( {\dfrac{{ - 2m + 1}}{2}} \right)^2} - 6\left( {\dfrac{{ - m - 1}}{2}} \right) - 1\\ = {\left( { - 2m + 1} \right)^2} - 3\left( { - m - 1} \right) - 1\end{array}\)

\( = 4{m^2} - 4m + 1 - 3\left( { - m - 1} \right) - 1\)

\( = 4{m^2} - m + 3\)

\( = {\left( {2m} \right)^2} - 2.2m.\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{16}} + 3\)

\( = {\left( {2m - \dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{{47}}{{16}} \ge \dfrac{{47}}{{16}}\) với mọi m (vì \({\left( {2m - \dfrac{1}{4}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\))

Do đó giá trị nhỏ nhất của \(F\) là \(\dfrac{{47}}{{16}}\) khi \(2m - \dfrac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow 2m = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{4}:2 = \dfrac{1}{8}\)

Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{{47}}{{16}}\)khi \(m = \dfrac{1}{8}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link