Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O. Các đường cao AE, BF cắt nhau tại trực tâm H của
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O. Các đường cao AE, BF cắt nhau tại trực tâm H của tam giác, AO cắt đường tròn tại điểm thứ hai M.
a) Chứng minh tứ giác EHFC nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành.
c) Chứng minh \(CO \bot EF\).
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.
b) Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau là hình bình hành.
c) Vận dụng kiến thức góc nội tiếp chứng minh.
a) Chứng minh tứ giác EHFC nội tiếp được đường tròn.
Tam giác ABC có AE, BF là đường cao cắt nhau tại trực tâm H
\( \Rightarrow \angle CEH = {90^0}\) và \(\angle CFH = {90^0}\)
Xét tứ giác EHFC có: \(\angle CEH + \angle CFH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
\( \Rightarrow EHFC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành.
Ta có C thuộc đường tròn (O) nên \(\angle ACM = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng \({90^0}\))
\( \Rightarrow MC \bot AC\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MC \bot AC\\BH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow MC//BH\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Ta có B thuộc đường tròn (O) nên \(\angle ABM = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng \({90^0}\))
\( \Rightarrow AB \bot BM\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\BM \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CH//BM\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Tứ giác BHCM có: \(\left\{ \begin{array}{l}MC//BH\\CH//BM\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow BHCM\) là hình bình hành (dhnb)
c) Chứng minh \(CO \bot EF\).
Kéo dài OC cắt đường tròn (O) tại Q nên CQ là đường trình của đường tròn (O)
Tứ giác AFEB có \(\angle AEB = \angle AFB = {90^0}\) mà hai góc này có đỉnh kề nhau
Suy ra AFEB là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle BAF = \angle FEC\) (cùng bù với \(\angle BEF\))
Tứ giác EHFC nội tiếp đường tròn (cmt) nên \(\angle FHO = \angle FEC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CF)
Suy ra \(\angle BAF = \angle FEC\) hay \(\angle BAC = \angle FEC\)
Xét (O) có: \(\angle BQC = \angle BAC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Suy ra \(\angle FEC = \angle BAC\)
Có B thuộc đường tròn tâm O đường kính QC \( \Rightarrow \angle QBC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có: \(\angle BQC + \angle QCB = \angle QBC = {90^0}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle FEC + \angle QCB = {90^0}\\ \Rightarrow CQ \bot EF\,\,hay\,\,CO \bot EF\end{array}\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
