a) Bạn An đi xe đạp từ nhà đến trường trên quãng đường dài \(4\)km. Khi đi từ

Câu hỏi số 596458:

Vận dụng

a) Bạn An đi xe đạp từ nhà đến trường trên quãng đường dài \(4\)km. Khi đi từ trường về nhà vẫn trên con đường đó, An đạp xe với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình lúc đi là \(3\)km/h. Tổng thời gian đạp xe cả đi và về của An là \(36\) phút. Tính vận tốc đạp xe trung bình của An lúc đi từ nhà đến trường.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = mx + 5\). Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\). Tìm m để \(x_1^2 = 9 - m{x_2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:596458

Phương pháp giải

a) Gọi vận tốc đạp xe trung bình của An khi đi từ nhà đến trường là \(x\)(km/h) \(\left( {x > 0} \right)\)

Tính vận tốc trung bình An đi từ trường về nhà theo x

Tính thời gian An đi từ nhà đến trường và từ trường về nhà theo x

Lập phương trình, giải phương trình đối chiếu điều kiện và kết luận.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) (1)

Yêu cầu đề bài \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt với mọi m\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\) với mọi m.

Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a};{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\)

Thay vào \(x_1^2 = 9 - m{x_2}\) để tìm m

Giải chi tiết

a) Đổi \(36\) phút \( = \dfrac{3}{5}\) (giờ)

Gọi vận tốc đạp xe trung bình của An khi đi từ nhà đến trường là \(x\)(km/h) \(\left( {x > 0} \right)\)

Khi đó: vận tốc trung bình An đi từ trường về nhà là \(x + 3\) (km/h)

Thời gian An đi từ nhà đến trường là \(\dfrac{4}{x}\) (giờ)

Thời gian An đi từ trường về nhà là \(\dfrac{4}{{x + 3}}\) (giờ)

Do tổng thời gian đạp xe cả đi và về của An là \(36\) phút nên ta có phương trình:

\(\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{x + 3}} = \dfrac{3}{5}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {x + 3} \right) + 4x}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{3}{5}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{4x + 12 + 4x}}{{{x^2} + 3x}} = \dfrac{3}{5}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{8x + 12}}{{{x^2} + 3x}} = \dfrac{3}{5}\)

\( \Rightarrow 5\left( {8x + 12} \right) = 3\left( {{x^2} + 3x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 40x + 60 = 3{x^2} + 9x\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 31x - 60 = 0\)

Ta có: \(\Delta = {\left( { - 31} \right)^2} - 4.3.\left( { - 60} \right) = 1681 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{31 - \sqrt {1681} }}{6} = - \dfrac{5}{3}\) (loại)

\({x_2} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{31 + \sqrt {1681} }}{6} = 12\) (tmđk)

Vậy vận tốc An đi từ nhà tới trường là \(12\)km/h.

b) *Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d), ta có:

\({x^2} = mx + 5 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 4.\left( { - 5} \right) = {m^2} + 20 > 0,\forall m\) \( \Rightarrow \) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

\( \Rightarrow \left( P \right)\) luôn cắt \(\left( d \right)\)tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\)

*Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\,\,\,\,\,\\{x_1}{x_2} = - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array} \right.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: \(x_1^2 = m{x_1} + 5\)

Theo giả thiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_1^2 = 9 - m{x_2}\\ \Leftrightarrow m{x_1} + 5 = 9 - m{x_2}\\ \Leftrightarrow m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow m.m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ { - 2;2} \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link