Cho tứ diện \(ABCD\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(AB,\,\,CD\) cắt các cạnh

Câu hỏi số 598109:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(AB,\,\,CD\) cắt các cạnh \(AD,\,\,DB,\,\,BC,\,\,CA\) lần lượt tại \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\). Giả sử \(\dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{1}{2}\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chia khối tứ diện thành 2 phần. Tỉ số thể tích \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) của hai khối đa diện \(ABMNPQ\) và \(CDMNPQ\) bằng

A. \(\dfrac{7}{{13}}\).

B. \(\dfrac{{13}}{{20}}\).

C. \(\dfrac{6}{{13}}\).

D. \(\dfrac{7}{{20}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598109

Phương pháp giải

- \({V_1} = {V_{ABMNPQ}} = {V_{A.BPN}} + {V_{N.APQ}} + {V_{N.AMQ}}\)

- Tìm tỉ số thể tích của \({V_{A.BPN}},\,\,{V_{N.APQ}},\,\,{V_{N.AMQ}}\) với \({V_{ABCD}}\)

- Tính \({V_1}\) theo \({V_{ABCD}}\)

- Tính \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)

Giải chi tiết

Ta có: \({V_1} = {V_{ABMNPQ}} = {V_{A.BPN}} + {V_{N.APQ}} + {V_{N.AMQ}}\)

Vì \(\dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AQ}}{{AC}} = \dfrac{{BN}}{{BD}} = \dfrac{{BP}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{S_{BNP}}}}{{{S_{BCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}BP.BN\sin \angle PBN}}{{\dfrac{1}{2}BC.BC.\sin \angle CBD}} = \dfrac{{BP}}{{BC}}.\dfrac{{BN}}{{BD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}\\ \Rightarrow {S_{BNP}} = \dfrac{1}{9}{S_{BCD}}\end{array}\)

Tương tự ta có \({S_{AMQ}} = \dfrac{1}{9}{S_{ACD}}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}{S_{APQ}} = \dfrac{{AQ}}{{AC}}{S_{APC}} = \dfrac{1}{3}{S_{APC}}\\{S_{APC}} = \dfrac{{PC}}{{BC}}{S_{ABC}} = \dfrac{2}{3}{S_{ABC}}\\ \Rightarrow {S_{APQ}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}{S_{ABC}} = \dfrac{2}{9}{S_{ABC}}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{ABPN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{{S_{BPN}}}}{{{S_{BCD}}}} = \dfrac{1}{9}\\\dfrac{{{V_{NAPQ}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}d\left( {N,\left( {ABC} \right)} \right).{S_{APQ}}}}{{\dfrac{1}{3}d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{{27}}\\\dfrac{{{V_{NAMQ}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}d\left( {N,\left( {ADC} \right)} \right).{S_{AMQ}}}}{{\dfrac{1}{3}d\left( {B,\left( {ADC} \right)} \right).{S_{ADC}}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{{27}}\end{array}\)

Do đó \({V_1} = \dfrac{7}{{27}}{V_{ABCD}} \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{7}{{20}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.