Cho \(a,b,c\) là \(3\) số dương thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 598867:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là \(3\) số dương thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(P = \dfrac{a}{{a + \sqrt {a + bc} }} + \dfrac{b}{{b + \sqrt {b + ca} }} + \dfrac{c}{{c + \sqrt {c + ab} }}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598867

Phương pháp giải

Biến đổi \(\dfrac{a}{{a + \sqrt {a + bc} }}\)\( = \dfrac{{a\left( {\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} - a} \right)}}{{ab + bc + ca}}\); Tương tự với \(\dfrac{b}{{b + \sqrt {b + ca} }}\) và \(\dfrac{c}{{c + \sqrt {c + ab} }}\).

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương của \(\dfrac{{a\left( {\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} - a} \right)}}{{ab + bc + ca}}\); Tương tự với hai biểu thức còn lại.

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức, tìm GTLN của biểu thức.

Giải chi tiết

\(\dfrac{a}{{a + \sqrt {a + bc} }} = \dfrac{{a\left( {\sqrt {a + bc} - a} \right)}}{{a + bc - {a^2}}} = \dfrac{{a\left( {\sqrt {a.1 + bc} - a} \right)}}{{a.1 + bc - {a^2}}} = \dfrac{{a\left( {\sqrt {a\left( {a + b + c} \right) + bc} - a} \right)}}{{a\left( {a + b + c} \right) + bc - {a^2}}}\)

\( = \dfrac{{a\left( {\sqrt {{a^2} + ab + ac + bc} - a} \right)}}{{{a^2} + ab + ac + bc - {a^2}}}\)\( = \dfrac{{a\left( {\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} - a} \right)}}{{ab + bc + ca}}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương, ta có:

\(\dfrac{{a\left( {\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} - a} \right)}}{{ab + bc + ca}} \le \dfrac{{a\left( {\dfrac{{a + b + a + c}}{2} - a} \right)}}{{ab + bc + ca}} = \dfrac{{ab + ca}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}\)

Do đó: \(\dfrac{a}{{a + \sqrt {a + bc} }} \le \dfrac{{ab + ca}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}\) (1)

Tương tự ta có:

\(\dfrac{b}{{b + \sqrt {b + ca} }} \le \dfrac{{bc + ab}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}\) (2)

và \(\dfrac{c}{{c + \sqrt {c + ab} }} \le \dfrac{{ca + bc}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}\) (3)

Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta được \(P \le \dfrac{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}} = 1\)

Do đó \(P \le 1\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(1\) khi \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link