Cho \(a,b,c\) là \(3\) số dương thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 598867:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là \(3\) số dương thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(P = \dfrac{a}{{a + \sqrt {a + bc} }} + \dfrac{b}{{b + \sqrt {b + ca} }} + \dfrac{c}{{c + \sqrt {c + ab} }}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598867

Phương pháp giải

Biến đổi \(\dfrac{a}{{a + \sqrt {a + bc} }}\)\( = \dfrac{{a\left( {\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} - a} \right)}}{{ab + bc + ca}}\); Tương tự với \(\dfrac{b}{{b + \sqrt {b + ca} }}\) và \(\dfrac{c}{{c + \sqrt {c + ab} }}\).

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương của \(\dfrac{{a\left( {\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} - a} \right)}}{{ab + bc + ca}}\); Tương tự với hai biểu thức còn lại.

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức, tìm GTLN của biểu thức.

Giải chi tiết

\(\dfrac{a}{{a + \sqrt {a + bc} }} = \dfrac{{a\left( {\sqrt {a + bc} - a} \right)}}{{a + bc - {a^2}}} = \dfrac{{a\left( {\sqrt {a.1 + bc} - a} \right)}}{{a.1 + bc - {a^2}}} = \dfrac{{a\left( {\sqrt {a\left( {a + b + c} \right) + bc} - a} \right)}}{{a\left( {a + b + c} \right) + bc - {a^2}}}\)

\( = \dfrac{{a\left( {\sqrt {{a^2} + ab + ac + bc} - a} \right)}}{{{a^2} + ab + ac + bc - {a^2}}}\)\( = \dfrac{{a\left( {\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} - a} \right)}}{{ab + bc + ca}}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương, ta có:

\(\dfrac{{a\left( {\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} - a} \right)}}{{ab + bc + ca}} \le \dfrac{{a\left( {\dfrac{{a + b + a + c}}{2} - a} \right)}}{{ab + bc + ca}} = \dfrac{{ab + ca}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}\)

Do đó: \(\dfrac{a}{{a + \sqrt {a + bc} }} \le \dfrac{{ab + ca}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}\) (1)

Tương tự ta có:

\(\dfrac{b}{{b + \sqrt {b + ca} }} \le \dfrac{{bc + ab}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}\) (2)

và \(\dfrac{c}{{c + \sqrt {c + ab} }} \le \dfrac{{ca + bc}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}\) (3)

Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta được \(P \le \dfrac{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}} = 1\)

Do đó \(P \le 1\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(1\) khi \(a = b = c = \dfrac{1}{3}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link