Cho số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11.\) Số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển

Câu hỏi số 598992:

Vận dụng

Cho số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11.\) Số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển của \({\left( {{x^3} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}\) bằng:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598992

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\), giải phương trình \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11\) tìm \(n\).

- Sử dụng khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \).

- Để tìm số hạng chứa \({x^7}\) ta cho số mũ của \(x\) trong khai triển bằng \(7\).

Giải chi tiết

Ta có: \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {n \ge 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n \in \mathbb{N}} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 1 + n + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 11}\\{ \Leftrightarrow 2 + 2n + {n^2} - n = 22}\\{ \Leftrightarrow {n^2} + n - 20 = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\\{n = {\rm{\;}} - 5{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.}\end{array}\)

Khi đó ta có \({\left( {{x^3} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} = {\left( {{x^3} + \dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}}} \right)^4} = 1.{\left( {{x^3}} \right)^4} + 4.{\left( {{x^3}} \right)^3}.\dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}} + 6.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}}} \right)^2} + 4\left( {{x^3}} \right).{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}}} \right)^4}\)

Vậy số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển trên là \(4.{\left( { - 1} \right)^1}{x^7} = {\rm{\;}} - 4{x^7}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.