Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD = 2AB = 2AD = 6. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD = 2AB = 2AD = 6. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quanh xung quanh đường thẳng BC.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Quay và phân chia thể tích.
Sử dụng các công thức:
- Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy R là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).
- Thể tích khối nón cụt có chiều cao h, hai bán kính đáy R, r là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi \left( {{R^2} + {r^2} + Rr} \right)h\).
Gọi M là trung điểm của CD.
Tứ giác ABMD là hình vuông cạnh 3 nên BM = 3 \( = \dfrac{{CD}}{2}\).
=> Tam giác BCD vuông tại B (tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy).
\( \Rightarrow BD \bot BC.\)
Hơn nữa: \(\angle CDB = \angle ABD = {45^0}\,\,\left( {slt} \right) \Rightarrow \Delta BCD\) vuông cân tại B => BC = BD = \(\sqrt 2 BM = 3\sqrt 2 \).
Gọi A’, D’ lần lượt là các điểm đối xứng với A và D qua BC.
Gọi I là trung điểm của AA’. Ta có: B là trung điểm của DD’.
Khi quay hình thang ABCD quanh cạnh BC, khối tròn xoay nhận được có thể tích \(V = {V_1} + {V_2} - {V_3}\) với:
V1: Thể tích khối nón đỉnh C, đáy là đường tròn tâm B đường kính DD’.
V2: Thể tích khối nón cụt hai đáy là đường tròn tâm I đường kính AA’ và đường tròn tâm B đường kính DD’.
V3: Thể tích khối nón đỉnh B, đáy là đường tròn tâm I đường kính AA’.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .B{D^2}.BC = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {3\sqrt 2 } \right)^2}.3\sqrt 2 = 18\sqrt 2 \pi \\{V_2} = \dfrac{1}{3}\pi \left( {I{A^2} + B{D^2} + IA.BD} \right).IB\end{array}\)
Xét tam giác IAB vuông cân tại I có AB = 3 \( \Rightarrow IA = IB = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\).
\( \Rightarrow {V_2} = \dfrac{1}{3}\pi \left( {{{\left( {\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} + \left( {\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}} \right).3\sqrt 2 } \right).\dfrac{3}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{63\sqrt 2 }}{4}\pi \)
\({V_3} = \dfrac{1}{3}\pi .I{A^2}.IB = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}.\dfrac{3}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{4}\pi \).
Vậy \(V = {V_1} + {V_2} - {V_3} = \dfrac{{63\sqrt 2 }}{2}\pi \).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
