Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm

Câu hỏi số 601525:

Vận dụng

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SC\). Tính thể tích khối chóp \(A.BCNM\). Biết mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{96}}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{12}}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{16}}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{32}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:601525

Phương pháp giải

\({V_{A.BCNM}} = \dfrac{3}{4}{V_{S.ABC}}\)

Giải chi tiết

Ta có: \({V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABC}}\) .

\( \Rightarrow {V_{A.BCNM}} = \dfrac{3}{4}{V_{S.ABC}}\). (1)

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, D, H lần lượt là trung điểm của BC, MN (như hình vẽ).

Tam giác ABC đều cạnh a \( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4},\,AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,OA = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác AMN cân tại A, AH là trung tuyến

\( \Rightarrow \) AH là đường cao .

\( \Rightarrow AH \bot MN\).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AMN} \right) \bot \left( {SBC} \right)\\\left( {AMN} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MN\end{array} \right.\,\, \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow AH \bot SD\).

Lại có, H là trung điểm của SD \( \Rightarrow AH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác SAD.

\( \Rightarrow \Delta SAD\) cân tại A \( \Rightarrow SA = AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác SOA vuông tại O \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \sqrt {\dfrac{{5{a^2}}}{{12}}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt {15} }}{6} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{24}}\) (2)

Từ (1), (2) suy ra: \({V_{A.BCNM}} = \dfrac{3}{4}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{24}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{32}}\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.