Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(2f\left( x \right) + f'\left(

Câu hỏi số 602390:

Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(2f\left( x \right) + f'\left( x \right) = 2x + 1\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) và f(0) = 1. Giá trị của \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(1 - \dfrac{1}{{2{e^2}}}\).

B. \( - \dfrac{1}{{2{e^2}}}\).

C. \(1 + \dfrac{1}{{2{e^2}}}\).

D. \(\dfrac{1}{{2{e^2}}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:602390

Giải chi tiết

Xét phương trình \(2f\left( x \right) + f'\left( x \right) = 2x + 1\)

Nhân \({e^{2x}} \Leftrightarrow 2.{e^{2x}}f\left( x \right) + {e^{2x}}f'\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {2x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {{e^{2x}}f\left( x \right)} \right)' = {e^{2x}}\left( {2x + 1} \right)\)

Nguyên hàm \( \Leftrightarrow \int {\left( {{e^{2x}}f\left( x \right)} \right)'dx} = \int {{e^{2x}}\left( {2x + 1} \right)dx} \).

Xét \(\int {{e^{2x}}\left( {2x + 1} \right)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = u\\{e^{2x}}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = du\\\dfrac{1}{2}{e^{2x}} = v\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {{e^{2x}}\left( {2x + 1} \right)dx} = \dfrac{1}{2}{e^{2x}}\left( {2x + 1} \right) - \int {{e^{2x}}dx} \\ = \dfrac{1}{2}{e^{2x}}\left( {2x + 1} \right) - \dfrac{1}{2}{e^{2x}} + C = x{e^{2x}} + C\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {e^{2x}}f\left( x \right) = x{e^{2x}} + C\\Thay\,\,x = 0 \Rightarrow {e^0}f\left( 0 \right) = C \Leftrightarrow 1 = C\\ \Rightarrow {e^{2x}}f\left( x \right) = x{e^{2x}} + 1\\ \Rightarrow f\left( x \right) = x + {e^{ - 2x}}\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {x + {e^{ - 2x}}} \right)dx} = 1 - \dfrac{1}{{2{e^2}}}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.