Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) = 0, \(\int\limits_0^1 {{{\left[

Câu hỏi số 602391:

Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) = 0, \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 7\) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{3}\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(\dfrac{7}{5}\).

B. 1.

C. \(\dfrac{7}{4}\).

D. 4.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:602391

Giải chi tiết

*) Xét \(\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = u \Rightarrow f'\left( x \right)dx = du\\{x^2}dx = dv \Rightarrow \dfrac{{{x^3}}}{3} = v\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right)dx} = \left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}f\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^3}}}{3}f'\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^3}}}{3}f'\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( x \right)dx} = - 1\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {14{x^3}f'\left( x \right)dx} = - 14\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

*) \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = 7\) (2)

*) Xét \(\int\limits_0^1 {49{x^6}dx} = 7\) (3)

Cộng (1), (2), (3)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2} + 14{x^3}f'\left( x \right) + 49{x^6}} \right]dx} = 0\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) + 7{x^3}} \right]}^2}dx} = 0\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 7{x^3} = 0\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = - 7{x^3}\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{{7{x^4}}}{4} + C\end{array}\)

Thay x = 1 \( \Rightarrow f\left( 1 \right) = \dfrac{{ - 7}}{4} + C = 0 \Leftrightarrow C = \dfrac{7}{4}\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{{7{x^4}}}{4} + \dfrac{7}{4}\).

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - \dfrac{{7{x^4}}}{4} + \dfrac{7}{4}} \right)dx} = \dfrac{7}{5}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.