Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) = 0, \(\int\limits_0^1 {{{\left[

Câu hỏi số 602392:

Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) = 0, \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = \dfrac{3}{2} - 2\ln 2\) và \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = 2\ln 2 - \dfrac{3}{2}\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(\dfrac{{1 - 2\ln 2}}{2}\).

B. \(\dfrac{{3 - 2\ln 2}}{2}\).

C. \(\dfrac{{3 - 4\ln 2}}{2}\).

D. \(\dfrac{{1 - \ln 2}}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:602392

Giải chi tiết

*) Xét \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = u \Rightarrow f'\left( x \right)dx = du\\\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx = dv \Rightarrow - \dfrac{1}{{x + 1}} + 1 = \dfrac{x}{{x + 1}} = v\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right)dx} = \left. {\dfrac{x}{{x + 1}}f\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{x + 1}}f'\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} - 2\ln 2 = - \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{x + 1}}f'\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{x + 1}}f'\left( x \right)dx} = 2\ln 2 - \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow 2\int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{x + 1}}f'\left( x \right)dx} = 4\ln 2 - 3\end{array}\)

*) Xét \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = \dfrac{3}{2} - 2\ln 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2} - 2\dfrac{x}{{x + 1}}f'\left( x \right) + \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right]dx} = 0\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) - \dfrac{x}{{x + 1}}} \right]}^2}dx} = 0\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) - \dfrac{x}{{x + 1}} = 0\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{x + 1}}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\dfrac{x}{{x + 1}}dx} = \int {\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = x - \ln \left| {x + 1} \right| + C\\Thay\,\,x = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1 - \ln 2 + C = 0 \Leftrightarrow C = \ln 2 - 1\\ \Rightarrow f\left( x \right) = x - \ln \left| {x + 1} \right| + \ln 2 - 1.\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left[ {x - \ln \left| {x + 1} \right| + \ln 2 - 1} \right]dx} = \dfrac{{1 - 2\ln 2}}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.