Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 4m (Cm) (1). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 (2). Tìm tất cả các giá trị của m để (Cm) có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng: y = x

Câu hỏi số 6041:

Cho hàm số: y = x³ – 3mx² + 4m (C_m) (1). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 (2). Tìm tất cả các giá trị của m để (C_m) có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng: y = x

A. m = $\dpi{100} \frac{2}{\sqrt{2}}$

B. m = - $\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{2}}$

C. m = $\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{2}}$

D. Không có giá trị nào của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:6041

Giải chi tiết

(1). Học sinh tự giải

(2). Xét y = x³ – 3mx² + 4m. Trước hết: Để hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y' = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt và y' đổi dấu qua hai nghiệm đó.

Ta có: y' = 3x² – 6mx

y’ = 0 ⇔ x = 0; x = 2m

Vậy y’ = 0 có hai nghiệm phân biejt ⇔ m ≠ 0.

Khi đó các điểm cực trị sẽ là : A(0 ; 4m) ; B(2m ; 4m – 4m³)

Để tìm m sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x ta lí luận như sau :

A, B đối xứng nhau qua d : y = x ⇔ {AB ⊥ d ; Trung điểm I của AB thuộc d}

Ta có: AB ⊥ d ⇔ $\dpi{100} \overrightarrow{AB}$ . $\dpi{100} \overrightarrow{u_{d}}$ = 0

Mà $\dpi{100} \overrightarrow{AB}$ = (2m ; – 4m³);

$\dpi{100} \overrightarrow{u_{d}}$ = (1 ; 1).

Vậy $\dpi{100} \overrightarrow{AB}$ . $\dpi{100} \overrightarrow{u_{d}}$ = 0 ⇒ 2m – 4m³= 0 ⇔ $\dpi{100} \fn_jvn [\begin{matrix} m=0(L)\\m=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}$

+) Với m = $\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{2}}$ ⇒ A(0 ; $\dpi{100} \frac{4}{\sqrt{2}}$ ) ; B( $\dpi{100} \frac{2}{\sqrt{2}}$ ; $\dpi{100} \frac{2}{\sqrt{2}}$ )

⇒ I( $\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{2}}$ ; $\dpi{100} \frac{3}{\sqrt{2}}$ ) ∉ d ; y = x ⇒ m = $\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{2}}$ (loại)

+) Với m = - $\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{2}}$ ⇒ A(0 ; - $\dpi{100} \frac{4}{\sqrt{2}}$ ); B(- $\dpi{100} \frac{2}{\sqrt{2}}$ ; - $\dpi{100} \frac{2}{\sqrt{2}}$ )

⇒ I(- $\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{2}}$ ; - $\dpi{100} \frac{3}{\sqrt{2}}$ ) ∉ d ⇒ m = - $\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{2}}$ (loại)

Kết luận: Không có giá trị nào của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.