Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), đường trung tuyến \(CD\). Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), đường trung tuyến \(CD\). Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(K\) sao cho \(BK = BA\). Chứng minh rằng \(CK = 2CD\)
Quảng cáo
+ Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm tam giác đó.
+ Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
+ Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền
+ Trong một tam giác có đường trung tuyến bằng một nửa của cạnh ứng với nó thì tam giác đó là tam giác vuông.
+ Trong một tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường cao thì tam giác đó là tam giác cân.
+ Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó sẽ vuông góc với đường thẳng còn lại.
Qua \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\), cắt \(CD\) tại \(M\).
Vì \(MB//AC\)(kẻ thêm) \( \Rightarrow \angle ABM = \angle MCA\) (2 góc so le trong)
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta MDB = \Delta CDA\left( {g.c.g} \right)\)
\( \Rightarrow MD = CD = \dfrac{1}{2}CM\) (2 cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow KD\) là đường trung tuyến của \(\Delta CMK\)
Vì \(CD\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên \(DB = DA = \dfrac{1}{2}AB\)
\( \Rightarrow AB = 2DB\)
Ta có : \(KD = BK + DB = AB + DB = 2DB + DB = 3DB\)
\( \Rightarrow DB = \dfrac{1}{3}KD\)
\( \Rightarrow KB = KD - DB = KD - \dfrac{1}{3}KD = \dfrac{2}{3}KD\)
Xét \(\Delta CMK\) có :
\(KD\) là đường trung tuyến của \(\Delta CMK\)
\(KB = \dfrac{2}{3}KD\)
\( \Rightarrow B\) là trọng tâm của \(\Delta CMK\)
Kẻ \(CB \cap MK = \left\{ H \right\},\left( {H \in MK} \right)\)
Vì \(\Delta MDB = \Delta CDA\left( {cmt} \right) \Rightarrow MB = AC\) (2 cạnh tương ứng)
Mà \(AB = AC\left( {gt} \right)\)
\(AB = BK\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow MB = AB = BK = \dfrac{1}{2}AK\)
\( \Rightarrow \Delta AMK\) vuông tại \(M\)\( \Rightarrow AM \bot MK\)
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta DMA = \Delta DCB\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle AMD = \angle BCD\)(2 góc tương ứng)
Mà 2 góc ở vị trí so le trong
\( \Rightarrow AM//BC\) hay \(AM//CH\)
Mà \(AM \bot MK\)
\( \Rightarrow CH \bot MK\)
Xét \(\Delta CMK\) có :
\(CH\) là đường trung tuyến
\(CH \bot MK\)
\( \Rightarrow \Delta CMK\) cân tại \(C\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow CM = CK\\ \Rightarrow 2CD = CK\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
