Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;2) và B(3;-4). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung

Câu hỏi số 607253:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;2) và B(3;-4). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \) có độ dài ngắn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:607253

Phương pháp giải

Gọi \(C\left( {0;c} \right) \in Oy\).

Tính \(\overrightarrow {CA} ,\,\,\overrightarrow {CB} \) và tính \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \) theo c.

Tính \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right|\) theo c. Tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Gọi \(C\left( {0;c} \right) \in Oy\).

Ta có: \(\overrightarrow {CA} = \left( {1;2 - c} \right),\,\,\overrightarrow {CB} = \left( {3; - 4 - c} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \left( {4; - 2 - 2c} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \sqrt {16 + 4{{\left( {1 + c} \right)}^2}} \end{array}\)

Vì \({\left( {1 + c} \right)^2} \ge 0\,\,\forall c \Rightarrow 4{\left( {1 + c} \right)^2} \ge 0\,\,\forall c \Leftrightarrow 16 + 4{\left( {1 + c} \right)^2} \ge 16\,\,\forall c\)

\( \Rightarrow \sqrt {16 + 4{{\left( {1 + c} \right)}^2}} \ge \sqrt {16} = 4\,\,\forall c \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| \ge 4\,\,\forall c\)

Dấu “=” xảy ra khi \(1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 1.\)

Vậy với \(C\left( {0; - 1} \right) \in Oy\) thì \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right|\) có độ dài ngắn nhất bằng 4.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.