Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;2) và B(3;-4). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung

Câu hỏi số 607253:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;2) và B(3;-4). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \) có độ dài ngắn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:607253

Phương pháp giải

Gọi \(C\left( {0;c} \right) \in Oy\).

Tính \(\overrightarrow {CA} ,\,\,\overrightarrow {CB} \) và tính \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \) theo c.

Tính \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right|\) theo c. Tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Gọi \(C\left( {0;c} \right) \in Oy\).

Ta có: \(\overrightarrow {CA} = \left( {1;2 - c} \right),\,\,\overrightarrow {CB} = \left( {3; - 4 - c} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \left( {4; - 2 - 2c} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \sqrt {16 + 4{{\left( {1 + c} \right)}^2}} \end{array}\)

Vì \({\left( {1 + c} \right)^2} \ge 0\,\,\forall c \Rightarrow 4{\left( {1 + c} \right)^2} \ge 0\,\,\forall c \Leftrightarrow 16 + 4{\left( {1 + c} \right)^2} \ge 16\,\,\forall c\)

\( \Rightarrow \sqrt {16 + 4{{\left( {1 + c} \right)}^2}} \ge \sqrt {16} = 4\,\,\forall c \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| \ge 4\,\,\forall c\)

Dấu “=” xảy ra khi \(1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 1.\)

Vậy với \(C\left( {0; - 1} \right) \in Oy\) thì \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right|\) có độ dài ngắn nhất bằng 4.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.