Cho \(\Delta ABC\), \(D \in AB,E \in AC\) sao cho \({S_{\Delta ADE}} = {S_{BDEC}}\). Chu vi \(\Delta ADE\) bằng chu
Cho \(\Delta ABC\), \(D \in AB,E \in AC\) sao cho \({S_{\Delta ADE}} = {S_{BDEC}}\). Chu vi \(\Delta ADE\) bằng chu vi tứ giác \(B{\rm{D}}EC\). Tia phân giác của \(\angle A\) cắt \(DE\) ở \(O\). Chứng minh rằng \(BO\) và \(CO\) là tia phân giác của \(\angle B\) và \(\angle C\)
Quảng cáo
+ Diện tích tam giác có chiều cao \(h\) ứng với cạnh đáy \(a\) là \(S = \dfrac{1}{2}ah\)
+ Chu vi tam giác bằng tổng độ dài của ba cạnh
+ Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác đó.
+ Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì trên tia phân giác của góc đó.
Hạ \(OH \bot AB,OK \bot AC,OI \bot BC\)
Vì \(O\) thuộc tia phân giác của góc \(A\) nên \(OH = OK = d\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{1}{2}OH.AD + \dfrac{1}{2}OK.AE\\ = \dfrac{1}{2}.d.\left( {AD + AE} \right)\left( 1 \right)\end{array}\)
\({S_{BDEC}} = {S_{\Delta BDO}} + {S_{\Delta OEC}} + {S_{\Delta BOC}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{1}{2}OH.BD + \dfrac{1}{2}OK.EC + \dfrac{1}{2}OI.BC\\ = \dfrac{1}{2}.d.\left( {BD + EC} \right) + \dfrac{1}{2}OI.BC\left( 2 \right)\end{array}\)
Chu vi \(\Delta ADE\) là: \({C_{\Delta ADE}} = AD + AE + ED\)
Chu vi tứ giác \(BDEC\) là \({C_{BDEC}} = BD + BC + CE + ED\)
Vì \({C_{\Delta ADE}} = {C_{BDEC}} \Rightarrow AD + AE = BD + BC + CE\)
Nhân hai vế của đẳng thức với \(\dfrac{1}{2}.d\) ta được:
\(\dfrac{1}{2}.d\left( {AD + AE} \right) = \dfrac{1}{2}.d\left( {BD + BC + CE} \right)\)
\( = \dfrac{1}{2}d\left( {BD + CE} \right) + \dfrac{1}{2}.d.BC\left( 3 \right)\)
Mặt khác, \({S_{\Delta ADE}} = {S_{BDEC}}\) nên từ (1) và (2) ta có:
\(\dfrac{1}{2}.d\left( {AD + AE} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {BD + CE} \right) + \dfrac{1}{2}OI.BC\left( 4 \right)\)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow d = OI\)
\( \Rightarrow OH = OK = OI = d\) \( \Rightarrow O\) cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\)
Vậy \(BO,CO\) lần lượt là các đường phân giác của \(\angle B\) và \(\angle C\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
