Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\). Phía ngoài tam giác vẽ \(\Delta ABE\) vuông cân tại \(B\). Gọi \(H\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\). Phía ngoài tam giác vẽ \(\Delta ABE\) vuông cân tại \(B\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), trên tia đối của tia \(AH\) lấy điểm \(I\) sao cho \(AI = BC\).
a) Chứng minh \(BI \bot CE\)
b) Kẻ đường phân giác \(BD\) của \(\angle B\), đường phân giác \(DM\) của \(\angle BDC\). Đường phân giác của \(\angle ADB\) cắt \(BC\) tại \(N\). Chứng minh rằng: \(BD = \dfrac{1}{2}MN\)
Quảng cáo
+ Trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó.
+ Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
+ Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền
+ Điểm nằm trên tia phân giác thì đều cách đề hai cạnh của góc đó.
a) Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AH\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)
\( \Rightarrow AH \bot BC\)
Vì \(\Delta ABE\) vuông cân tại \(B\) nên \(AB = BE\)
Ta có :
+ \(\angle IAB\) là góc ngoài của \(\Delta ABH\)
\( \Rightarrow \angle IAB = \angle ABH + \angle AHB = \angle ABH + 90^\circ = \angle ABC + 90^\circ \)
+ \(\angle EBC = \angle ABC + \angle EBA = \angle ABC + 90^\circ \)
\( \Rightarrow \angle IAB = \angle EBC\)
Xét \(\Delta AIB\) và \(\Delta BCE\) có :
\(\left. \begin{array}{l}AI = BC\\\angle IAB = \angle EBC\\AB = BE\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AIB = \Delta BCE\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle AIB = \angle BCE\) (2 góc tương ứng)
Xét \(\Delta IHB\) vuông tại \(H\) có :
\(\angle AIB + \angle IBH = 90^\circ \)
Mà \(\angle AIB = \angle BCE\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BCE + \angle IBH = 90^\circ \\ \Rightarrow BI \bot CE\end{array}\)
b) Do tính chất đường phân giác, ta có: \(DM \bot DN\)
Gọi \(F\) là trung điểm của \(MN\)
Xét \(\Delta MDN\) vuông tại \(D\) có : \(DF\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(MN\)
\( \Rightarrow FM = FN = FD = \dfrac{1}{2}MN\)
\( \Rightarrow \Delta FDM\) cân tại \(F\)\( \Rightarrow \angle FMD = \angle MDF\)
Vì \(DM\) là phân giác của \(\angle BDC\) nên \(\angle BDM = \angle CDM\)
Ta có : \(\angle FMD\) là góc ngoài của \(\Delta BDM\)
\( \Rightarrow \angle FMD = \angle MBD + \angle BDM = \angle MBD + \angle CDM\)
Mặt khác \(\angle FMD = \angle CDF + \angle CDM\)
\( \Rightarrow \angle MBD = \angle CDF\) (1)
Ta có : \(\angle MCD\) là góc ngoài của \(\angle CDE\)
\( \Rightarrow \angle MCD = \angle CDF + \angle CFD\) (2)
Vì \(BD\) là tia phân giác của \(\angle ABC\)
nên \(\angle MBD = \dfrac{1}{2}\angle ABC \Rightarrow \angle ABC = 2\angle MBD\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\angle ABC = \angle ACB\)
\( \Rightarrow \angle ACB = 2\angle MBD\) hay \(\angle MCD = 2\angle MDB\) (3)
Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \angle MBD = DFC\)
\( \Rightarrow \Delta DBF\) cân tại \(D\) \( \Rightarrow DB = DF = \dfrac{1}{2}MN\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
