Cho đa thức \(Q\left( x \right) = ax + bx + c{\rm{ }}\)\(\left( {a,b,c} \right) \in {\rm{ }}R\). Biết \(Q\left( 0

Câu hỏi số 608466:

Vận dụng

Cho đa thức \(Q\left( x \right) = ax + bx + c{\rm{ }}\)\(\left( {a,b,c} \right) \in {\rm{ }}R\). Biết \(Q\left( 0 \right),{\rm{ }}2\left( 1 \right),{\rm{ }}Q\left( 2 \right)\) là các số nguyên;

a) Chứng minh rằng c, a + b, 2a là các số nguyên;

b) Chứng minh rằng với mọi x là số nguyên thì Q(x) luôn là một số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608466

Phương pháp giải

Tìm \(Q\left( 0 \right),{\rm{ }}2\left( 1 \right),{\rm{ }}Q\left( 2 \right)\), lập luận chứng minh c, a + b, 2a là các số nguyên

Giải chi tiết

a) Ta có Q(0) = c nên \(c \in \mathbb{Z};\)

\(Q\left( 1 \right) = a + b + c \in Z\) nên \(2\left( {a + b + c} \right) \in Z\)

\(Q\left( 2 \right) = 4a + 2b + c = \mathbb{Z}\) mà \(2\left( {a + b + c} \right) \in Z\)\( \Rightarrow \left( {4a + 2b + c} \right) - 2\left( {a + b + c} \right){\rm{ }} \in {\rm{ }}Z\)

hay \( \Rightarrow 2a - c{\rm{ }} \in {\rm{ }}Z\)

Mà \(c \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \mathbb{Z},b \in \mathbb{Z}\)

Vậy c, a + b, 2a là các số nguyên.

b) Ta có \(Q = a{x^2} + bx + c = a{x^2} - ax + ax + bx + c = a\left( {{x^2} - x} \right) + \left( {a + b} \right)x + c\)

Với \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow {x^2} - x \in \mathbb{Z}\)

mà \(a \in \mathbb{Z}\) nên \(a\left( {{x^2} - x} \right) \in \mathbb{Z}\)

Tương tự \(a + b \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {a + b} \right)x \in \mathbb{Z}\)

Do đó \(Q = a{x^2} + bx + c = a{x^2} - ax + ax + bx + c = a\left( {{x^2} - x} \right) + \left( {a + b} \right)x + c \in \mathbb{R}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link