Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên \(AA' = \sqrt

Câu hỏi số 608485:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên \(AA' = \sqrt 2 \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B, B’C là

A. \(\dfrac{a}{3}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

C. \(a\sqrt 2 \).

D. \(\dfrac{{2a}}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608485

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.

- Gọi D là điểm đối xứng A qua B. Khi đó A’B // B’D. Chứng minh \(d\left( {A'B;B'C} \right) = d\left( {B;\left( {B'CD} \right)} \right)\).

- Tính \(d\left( {B;\left( {B'CD} \right)} \right)\), dựng khoảng cách bằng 3 nét.

Giải chi tiết

Gọi D là điểm đối xứng A qua B => A’BDB’ là hình bình hành. Khi đó A’B // B’D.

=> A’B // (B’CD).

Suy ra: \(d\left( {A'B;B'C} \right) = d\left( {A'B;\left( {B'CD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {B'CD} \right)} \right)\).

Kẻ \(BK \bot CD\,\,\left( {K \in CD} \right)\)

Ta có: \(BA = BC = BD \Rightarrow BC = \dfrac{1}{2}AD\) nên \(\Delta ACD\) vuông tại C \( \Rightarrow AC \bot CD\).

=> BK // AC.

Mà B là trung điểm của AD nên K là trung điểm của CD (định lí đường trung bình của tam giác)

=> BK là đường trung bình của tam giác ABC => \(BK = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2}\).

Kẻ \(BH \bot B'K\) tại H ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BK\\CD \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {BB'K} \right) \Rightarrow CD \bot BH\\\left\{ \begin{array}{l}BH \bot CD\\BH \bot B'K\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {B'BC} \right)\end{array}\)

Suy ra \(d\left( {B;\left( {B'CD} \right)} \right) = BH\).

Xét tam giác vuông BB’K ta có: \(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{B{K^2}}} + \dfrac{1}{{BB{'^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{2{a^2}}} = \dfrac{9}{{2{a^2}}} \Rightarrow BH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

Vậy \(d\left( {B;\left( {B'CD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.