Cho \(\Delta ABC\) đều. Trên các cạnh \(AB,BC,CA\) lấy theo thứ tự ba điểm \(M,N,P\) sao cho \(AM = BN

Câu hỏi số 610076:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) đều. Trên các cạnh \(AB,BC,CA\) lấy theo thứ tự ba điểm \(M,N,P\) sao cho \(AM = BN = CP\). \(O\) là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta ABC\)

a) Chứng minh \(\Delta MNP\) là tam giác đều

b) Gọi \(O\) là giao điểm các đường trung trực \(\Delta MNP\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:610076

Phương pháp giải

+ Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau và có ba góc cùng bằng \(60^\circ \)

+ Trong tam giác đều, đường trung trực đồng thời là đường phân giác của tam giác

+ Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.

Giải chi tiết

Ta có :

\(\left. \begin{array}{l}AP = AC - PC\\CN = BC - BN\\PC = BN\\AC = BC\end{array} \right\} \Rightarrow AP = CN\)

Dễ dàng chứng minh được

+ \(\Delta MAP = \Delta PCN\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow MP = PN\) (2 cạnh tương ứng)

+ \(\Delta NBM = \Delta PCN\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow MN = PN\) (2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow MN = MP = PN \Rightarrow \Delta MNP\) đều

b) Vì \(O\) là giao điểm của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow OA = OB = OC\)

Mặt khác \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow \) các đường trung trực đồng thời là các đường phân giác của tam giác

\( \Rightarrow \angle OAM = \angle OAP = \angle OCP = \angle OCN = \angle OBN = \angle OBM = \dfrac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ \)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta MAO = \Delta NBO\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow MO = NP\)(2 cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự, ta có: \(NO = PO\)

\( \Rightarrow O\) cách đều ba đỉnh của \(\Delta MNP\)

\( \Rightarrow O\) là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của \(\Delta MNP\)

\( \Rightarrow O\) là giao các đường trung trực của \(\Delta MNP\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link