Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn. Các điểm \(F,K,I\) là trung điểm các cạnh \(BC,BA,AC\). Gọi \(H\)

Câu hỏi số 610077:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn. Các điểm \(F,K,I\) là trung điểm các cạnh \(BC,BA,AC\). Gọi \(H\) là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta ABC\). Trên tia đối của tia \(FH\) lấy điểm \({A_1}\) sao cho \({A_1}F = FH\). Trên tia đối của tia \(IH\) lấy điểm \({B_1}\) sao cho \(IH = I{B_1}\). Trên tia đối của tia \(KH\) lấy điểm \({C_1}\) sao cho \(KH = K{C_1}\).

a) Chứng minh rằng hình sáu cạnh \({A_1}B{C_1}A{B_1}C\) có sáu cạnh bằng nhau và sáu cạnh đó đôi một song song.

b) Chứng minh rằng: \(\Delta ABC = \Delta {A_1}{B_1}{C_1}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:610077

Phương pháp giải

+ Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng, trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song với nhau.

+ Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.

Giải chi tiết

+ \(\Delta AKH = \Delta BK{C_1}\) (2 cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow AH = B{C_1}\) (2 cạnh tương ứng) (1)

và \(\angle {A_1} = \angle {B_1}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\angle A{{\kern 1pt} _1} = \angle {B_1}\left( {cmt} \right)\).

Mà 2 góc ở vị trí so le trong \( \Rightarrow AH//B{C_1}\) (2)

+ \(\Delta AHI = \Delta C{B_1}I\) (2 cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \angle {A_2} = \angle {C_1}\) (2 góc tương ứng)

và \(AH = C{B_1}\) (2 cạnh tương ứng)(3)

Ta có: \(\angle {A_2} = \angle {C_1}\left( {cmt} \right)\).

Mà 2 góc ở vị trí so le trong \( \Rightarrow AH//C{B_1}\) (4)

Từ (1) và (3) \( \Rightarrow B{C_1} = C{B_1} = AH\)

Từ (2) và (4) \( \Rightarrow B{C_1}//C{B_1}\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(A{C_1}//C{A_1};\,\,B{A_1}//A{B_1}\)

và \(A{C_1} = C{A_1} = BH;\,\,\,B{A_1} = A{B_1} = CH\)

Vì \(H\) là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow AH = BH = CH\)

\( \Rightarrow B{C_1} = C{B_1} = A{C_1} = C{A_1} = A{B_1} = B{A_1}\)

b) Vì \(A{C_1} = A{B_1}\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta {C_1}A{B_1}\) là tam giác cân tại \(A\)

\( \Rightarrow \angle A{C_1}{B_1} = \angle A{B_1}{C_1}\)

\(B{A_1} = C{A_1}\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta B{A_1}C\) là tam giác cân tại \({A_1}\)

\( \Rightarrow \angle {A_1}BC = \angle {A_1}CB\)

Xét \(\Delta {C_1}A{B_1}\) và \(\Delta C{A_1}B\) có

\(\left. \begin{array}{l}A{C_1} = C{A_1}\\\angle {C_1}A{B_1} = \angle C{A_1}B\\A{B_1} = B{A_1}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta {C_1}A{B_1} = \Delta C{A_1}B\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow {B_1}{C_1} = BC\) (2 cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự, ta có : \({A_1}{C_1} = AC;\,\,{A_1}{B_1} = AB\)

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta {A_1}{B_1}{C_1}\left( {c.c.c} \right)\)(đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link