1) Rút gọn biểu thức \(B = \left( {5 + \dfrac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {5 - \dfrac{{a

Câu hỏi số 611890:

Vận dụng

1) Rút gọn biểu thức \(B = \left( {5 + \dfrac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {5 - \dfrac{{a - \sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right)\) với \(a \ge 0,a \ne 1\)

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 3mx - 3m + 1\) trong đó m là tham số.

a) Với m = 1, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + 2{x_2} = 11\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:611890

Phương pháp giải

1) Rút gọn \(\dfrac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}\) và \(\dfrac{{a - \sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}}\) trước sau đó quy đồng.

2) a) Xét phương tình hoành độ giao điểm của (d) và (P) , thay m = 1 và tìm x

b) Tìm m để phương tình hoành độ giao điểm của (d) và (P) có 2 nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức Vi-et

Giải chi tiết

1) \(B = \left( {5 + \dfrac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {5 - \dfrac{{a - \sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right)\) với \(a \ge 0,a \ne 1\)

\(\begin{array}{l} = \left( {5 + \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {5 - \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right)\\ = \left( {5 + \sqrt a } \right)\left( {5 - \sqrt a } \right)\\ = 25 - a\end{array}\)

Vậy \(B = 25 - a\) với \(a \ge 0,a \ne 1\)

2) Xét phương tình hoành độ giao điểm của (d) và (P) có:

\(\begin{array}{l}{x^2} = 3mx - 3m + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3mx + 3m - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\end{array}\)

a) Với m = 1 thay vào \((*)\) ta có phương trình \({x^2} - 3x + 3 - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Với x = 2 thay vào (P) ta được y = 4

Với x = 1 thay vào (P) ta được y = 1

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (2,4) và (1,1)

b) Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt \((*)\) có 2 nghiệm phân biệt hay \(\Delta \ge 0\)

Ta có \(\Delta = {\left( {3m} \right)^2} - 4.1.\left( {3m - 1} \right) = 9{m^2} - 12m + 4 = {\left( {3m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m\)

Suy ra đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\)

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m\\{x_1}.{x_2} = 3m - 1\end{array} \right.\)

Để \({x_1} + 2{x_2} = 11\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m\\{x_1} + 2{x_2} = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 11 - 3m\\{x_1} = 3m - \left( {11 - 3m} \right) = 6m - 11\end{array} \right.\)

Thay \({x_1},{x_2}\) vào \({x_1}.{x_2} = 3m - 1\) ta được \(\left( {11 - 3m} \right)\left( {6m - 11} \right) = 3m - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 66m - 121 - 18{m^2} + 33m = 3m - 1\\ \Leftrightarrow - 18{m^2} + 96m - 120 = 0\\ \Leftrightarrow 3{m^2} - 16m + 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3m - 10} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{10}}{3}\\m = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ {\dfrac{{10}}{3},2} \right\}\) thì (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + 2{x_2} = 11\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link