Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13cm, diện tích là 30cm2. Tính độ dài các cạnh góc

Câu hỏi số 612171:

Vận dụng

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13cm, diện tích là 30cm². Tính độ dài các cạnh góc vuông.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612171

Phương pháp giải

Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là \(x\left( {cm} \right)\) (điều kiện: \(x > 0\))

Cạnh góc vuông thứ hai là \(y\,\left( {cm} \right)\) (điều kiện: \(y > 0\))

Lập hệ phương trình tìm x, y.

Giải chi tiết

Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là \(x\left( {cm} \right)\) (điều kiện: \(x > 0\))

Cạnh góc vuông thứ hai là \(y\,\left( {cm} \right)\) (điều kiện: \(y > 0\))

Tam giác vuông nên áp dụng định lý Py – ta – go nên ta có phương trình: \({x^2} + {y^2} = {13^2}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Diện tích của tam giác vuông là \(30c{m^2}\) nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{2}xy = 30 \Rightarrow xy = 60\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 13\\xy = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {13^2}\\xy = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - 2.60 = 169\\xy = 60\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = 289\\xy = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x + y = 17\,\,\left( {tm} \right)\\x + y = - 17\,\,\left( {ktm\,\,do\,\,x > 0;y > 0 \Rightarrow x + y > 0} \right)\end{array} \right.\\xy = 60\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 17 - y\\\left( {17 - y} \right)y = 60\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (*):

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {17 - y} \right)y = 60\\ \Leftrightarrow 17y - {y^2} - 60 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} - 17y + 60 = 0\end{array}\)

Ta có: \(\Delta = {\left( { - 17} \right)^2} - 4.60 = 49 > 0;\sqrt \Delta = 7\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{17 + 7}}{2} = 12\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{17 - 7}}{2} = 5\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(x = 12 \Rightarrow y = 17 - 12 = 5\,\left( {tm} \right)\)

Với \(x = 5 \Rightarrow y = 17 - 5 = 12\,\left( {tm} \right)\)

Vậy độ dài cạnh góc vuông thứ nhất là \(5cm\), cạnh thứ hai là \(12cm\) hoặc ngược lại.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link