Số các số nguyên dương x thỏa mãn \({4^x} + 2023\left( {x + 1} \right) < \left( {x + 2024}

Câu hỏi số 612686:

Vận dụng

Số các số nguyên dương x thỏa mãn \({4^x} + 2023\left( {x + 1} \right) < \left( {x + 2024} \right){.2^x}\) là:

A. 7.

B. 9.

C. 8.

D. 10.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612686

Phương pháp giải

Đưa bất phương trình về dạng tích.

Giải chi tiết

Ta có: \({4^x} + 2023\left( {x + 1} \right) < \left( {x + 2024} \right){.2^x}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {4^x} - {2024.2^x} + 2023 - \left( {{2^x} - 2023} \right).x < 0\\ \Leftrightarrow \left( {{2^x} - 1} \right)\left( {{2^x} - 2023} \right) - \left( {{2^x} - 2023} \right).x < 0\\ \Leftrightarrow \left( {{2^x} - 2023} \right)\left( {{2^x} - x - 1} \right) < 0\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} - x - 1\) ta có \(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - 1 > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^ + }\).

=> Hàm số f(x) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Do đó bất phương trình \( \Leftrightarrow {2^x} - 2023 < 0 \Leftrightarrow {2^x} < 2023 \Leftrightarrow x < {\log _2}2023\).

Mà x là số nguyên dương \( \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;...;10} \right\}.\)

Vậy có 10 số nguyên dương x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.