Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y -

Câu hỏi số 612690:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 1 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + 2z + 5 = 0.\) Lấy điểm A di động trên (S) và điểm B di động trên (S) sao cho \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương \(\overrightarrow a = \left( { - 2;1; - 1} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AB.

A. \(2 + 3\sqrt 6 \).

B. \(4 + 3\sqrt 6 \).

C. \(2 + \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\).

D. \(4 + \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612690

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 1 = 0\) có tâm I(1;1;1), bán kính R = 2.

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + 2z + 5 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1;1;2} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) có VTCP \(\overrightarrow a = \left( { - 2;1; - 1} \right)\).

Ta có: \(\sin \left( {AB,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \left| {\dfrac{{ - 2 + 1 - 2}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }}} \right| = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \left( {AB,\left( P \right)} \right) = {30^0}\).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) ta có AB = 2AH.

\( \Rightarrow A{B_{\max }} \Leftrightarrow A{H_{\max }} \Leftrightarrow AH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) + R = 2 + \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}.\)

Vậy \(A{B_{\max }} = 4 + 3\sqrt 6 .\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.