Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[ {0;10} \right]\)

Câu hỏi số 613448:

Vận dụng cao

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[ {0;10} \right]\) để bất phương trình \({\log _2}\dfrac{{{x^2} + 2x + m + 1}}{{{x^2} + 2x + 2}} \ge 2{x^2} + 4x + 7 - 2m\) có nghiệm. Số phần tử của tập hợp S bằng

A. 9.

B. 7.

C. 10.

D. 8.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:613448

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm của bất phương trình.

Giải chi tiết

Đặt \({x^2} + 2x + 1 = t\,\,\left( {DK:\left\{ \begin{array}{l}t \ge 0\\t + m \ge 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow t \ge 0,\,do\,m \in \left[ {0;10} \right]} \right)\), ta có BPT:

\({\log _2}\dfrac{{t + m}}{{t + 1}} \ge 2t + 5 - 2m \Leftrightarrow {\log _2}\left( {t + m} \right) - {\log _2}\left( {t + 1} \right) \ge 2t + 5 - 2m\)

\( \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_2}\left( {t + m} \right) + 1} \right] + 2t + 2m \ge \left[ {{{\log }_2}\left( {t + 1} \right) + 2} \right] + 4t + 4 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2t + 2m} \right) + 2t + 2m \ge {\log _2}\left( {4t + 4} \right) + 4t + 4\) (*)

Nhận xét: Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}x + x,\,\,\left( {x > 0} \right)\) : đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó: (*) \(f\left( {2t + 2m} \right) \ge f\left( {4t + 4} \right) \Leftrightarrow 2t + 2m \ge 4t + 4 \Leftrightarrow m \ge t + 2\).

Để BPT đã cho có nghiệm thì \(m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} \left( {t + 2} \right) = 2\).

Mà \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ {0;10} \right]\,\, \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;...;10} \right\}\): 9 giá trị.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.