Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 613887:

Thông hiểu

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = - 2x + 3\).

1) Vẽ parabol (P). Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d).

2) Viết phương trình đường thẳng (d’) song song với (d) và tiếp xúc với (P). Tính tọa độ tiếp điểm M của (d’) và (P).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:613887

Phương pháp giải

1) Lập bảng giá trị hàm số, xét phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P)

2) Đường thẳng (d’) song song với (d) có dạng \(y = - 2x + b\,\,\left( {b \ne 3} \right)\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (P) có nghiệm duy nhất.

Giải chi tiết

1) Hệ số \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x > 0\), nghịch biến khi \(x < 0\) và có bề lõm hướng lên trên và nhận Oy làm trục đối xứng.

Bảng giá trị:

\( \Rightarrow \) Parabol \(y = {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right),\,\,\left( { - 1;1} \right),\,\,\left( {0;0} \right),\,\,\left( {1;1} \right),\,\,\left( {2;4} \right)\).

Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình \({x^2} = - 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\).

Ta có \(a + b + c = 1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{{ - 3}}{1} = - 3\end{array} \right.\).

Với \(x = 1 \Rightarrow y = {1^2} = 1 \Rightarrow A\left( {1;1} \right)\).

Với \(x = - 3 \Rightarrow y = {\left( { - 3} \right)^2} = 9 \Rightarrow B\left( { - 3;9} \right)\).

Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( { - 3;9} \right)\).

2) Đường thẳng (d’) song song với (d) có dạng \(y = - 2x + b\,\,\left( {b \ne 3} \right)\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (P): \({x^2} = - 2x + b \Leftrightarrow {x^2} + 2x - b = 0\,\,\left( * \right)\)

Để (d’) tiếp xúc với (P) thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ' = 0\\ \Leftrightarrow 1 + b = 0 \Leftrightarrow b = - 1\end{array}\)

Với \(b = - 1 \Rightarrow \left( {d'} \right):\,\,y = - 2x - 1\).

\( \Rightarrow \) phương trình (*) trở thành: \({x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)

Với \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1 \Rightarrow M\left( { - 1;1} \right)\).

Vậy tọa độ tiếp điểm M của (d’) và (P) là \(M\left( { - 1;1} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link