Cho \(x,y \in \mathbb{Q}\). Chứng tỏ rằng :a) \(\left| {x + y} \right| \le \left| x \right| + \left| y

Câu hỏi số 614162:

Vận dụng

Cho \(x,y \in \mathbb{Q}\). Chứng tỏ rằng :

a) \(\left| {x + y} \right| \le \left| x \right| + \left| y \right|\)

b) \(\left| {x - y} \right| \ge \left| x \right| - \left| y \right|\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:614162

Phương pháp giải

+ \(\left| a \right| = 0\) nếu \(a \ge 0\)

\(\left| a \right| = - a\) nếu \(a < 0\)

+ Khi nhân hoặc chia cho số âm ta cần đổi chiều bất đẳng thức

Giải chi tiết

a) Với \(\forall x,y \in \mathbb{Q}\), ta luôn có:\(x \le \left| x \right|\) và \( - x \le \left| x \right|\)

\(y \le \left| y \right|\) và \( - y \le \left| y \right|\)

Mặt khác \( - x - y \le \left| x \right| + \left| y \right|\)

\(\begin{array}{l} - \left( {x + y} \right) \le \left| x \right| + \left| y \right|\\\,\,\,\,\,\,x + y \ge - \left( {\left| x \right| + \left| y \right|} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow - \left( {\left| x \right| + \left| y \right|} \right) \le x + y \le \left| x \right| + \left| y \right|\)

\( \Rightarrow \left| {x + y} \right| \le \left| x \right| + \left| y \right|\) (đpcm)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0\) hoặc \(y = 0\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = x\\\left| y \right| = y\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} - x = \left| x \right|\\ - y = \left| y \right|\end{array} \right.\)

Tức là \(\left| {x + y} \right| = \left| x \right| + \left| y \right|\) khi và chỉ khi \(xy \ge 0\)

b) Theo câu a), ta có : \(\left| {x - y} \right| + \left| y \right| \ge \left| {x - y + y} \right| = \left| x \right|\)

\( \Rightarrow \left| {x - y} \right| \ge \left| x \right| - \left| y \right|\) (đpcm)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(x \ge y > 0\) hoặc \(x \le y < 0\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link